Тензорное произведение алгебр

Тензорное произведение алгебр — конструкция, дающая новую алгебру по двум данным алгебрам над коммутативным кольцом. Наиболее распространён случай, когда кольцо является полем.

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо, а A и B — R-алгебры. Поскольку A и B можно рассматривать как R-модули, их тензорное произведение

A\otimes _{R}B

также является R-модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на простых элементах вида a ⊗ b следующим образом ^[1] ^[2]

(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}

и затем продолжив эту операцию по линейности на всю A ⊗_R B. Полученное кольцо является R-алгеброй, ассоциативной с единичным элементом, задаваемым 1_A ⊗ 1_B ^[3], где 1 _A и 1 _B — единичные элементы A и B. Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.

Тензорное произведение превращает категорию R-алгебр в симметричную моноидальную категорию.

Свойства

Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A ⊗_R B, заданые следующим образом^[4]:

a\mapsto a\otimes 1_{B}

b\mapsto 1_{A}\otimes b

Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R-алгебр.

При этом тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R-алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр. Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:

{\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,

где [-, -] обозначает коммутатор. Естественный изоморфизм задается идентификацией морфизма $\phi :A\otimes B\to X$ в левой части с парой морфизмов $(f,g)$ с правой стороны, где $f(a):=\phi (a\otimes 1)$ и аналогично $g(b):=\phi (1\otimes b)$ .