Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Естественное преобразование

Из Википедии — свободной энциклопедии

В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). Поэтому естественное преобразование можно понимать как «морфизм функторов». Эта интуиция может быть строго формализована в определении категории функторов. Естественные преобразования — наиболее базовое определение в теории категорий наряду с функторами, поэтому оно появляется в большинстве её приложений.

Определение

Пусть и  — ковариантные функторы из категории в . Тогда естественное преобразование сопоставляет каждому объекту категории морфизм в категории , называемый компонентой в , так, что для любого морфизма диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна. В случае контравариантных функторов и определение совершенно аналогично (необходимо только обратить горизонтальные стрелки, учитывая, что их обращает контравариантный морфизм).

Natural transformation.svg

Если η — естественное преобразование функтора F в функтор G, мы пишем η : FG. Также об этом говорят, что семейство морфизмов ηX : F(X) → G(X) естественно по X.

Если для каждого X в C морфизм ηX является изоморфизмом в D, то η называют естественным изоморфизмом (или, иногда, естественной эквивалентностью или изоморфизмом функторов).

Инфраестественное преобразование η из F в G — это просто семейство морфизмов ηX: F(X) → G(X). Натуралайзер η, nat(η), — это самая большая подкатегория C, содержащая те объекты C, в ограничении на которые η является естественным преобразованием.

Если η : FG и ε : GH — естественные преобразования, мы можем взять их композицию и получить естественное преобразование εη : FH. Это делается покомпонентно: (εη)X = εXηX. Эта операция ассоциативна и имеет единицу, что позволяет образовать категорию функторов.

Примеры

Пример естественного преобразования

Примером естественного преобразования может служить определитель. В самом деле пусть  — коммутативное кольцо, тогда квадратные матрицы порядка над образуют моноид по умножению, а  — мультипликативный моноид самого кольца . Пусть будет функтором, переводящим кольцо в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются морфизмами кольца (что означает перестановочность морфизма и этих операций), отображение будет естественным преобразованием между функтором и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу его мультипликативный моноид (оба функтора из категории коммутативных колец в категорию моноидов ).

Пример «неестественного» преобразования

Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть  — n-мерное векторное пространство над полем .  — его базис,  — базис сопряжённого пространства функционалов , такой что

где  — символ Кронекера. Все n-мерные пространства изоморфны. Положим

и распространим линейно на всё пространство . отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор в контравариантный функтор , отображающий векторное пространство в сопряжённое пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор ковариантным функтором (где , ). Преобразование не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть V одномерно и изоморфизм является умножением на 2:

Тогда , в то время как , то есть диаграмма некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна — определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство , то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм (а именно для любого и функционала ). В данном случае изоморфизм определяет естественное преобразование тождественного функтора в функтор .

Полиморфные функции

Другой важнейший пример естественных преобразований — полиморфные функции (имеется в виду  параметрический полиморфизм). Примером такого преобразования является функция reverse :: forall a . [a] -> [a], переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverseT :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: forall f :: a -> b : map f . reversea = reverseb . map f. Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие теоремы Рейнольдса.

Литература

  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии — М.: Мир, 1976.
  • Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1966.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
  • Wadler, Philip — Theorems for free!
Эта страница в последний раз была отредактирована 19 мая 2019 в 18:04.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).