Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Разбие́ние натурального числа́  — это такое представление числа в виде суммы положительных целых чисел , которое, в отличие от композиции, не учитывает порядок слагаемых. Слагаемые в разбиении называются частями. В канонической записи разбиения слагаемые перечисляются в невозрастающем порядке.

Если , то соответствующее этому набору чисел разбиение обычно обозначается как {} = . Число при этом называют мощностью разбиения и обозначают , а число называют длиной разбиения и обозначают .

Число разбиений натурального числа является одним из фундаментальных объектов изучения в комбинаторике.

Примеры

Например, {3, 1, 1} или {3, 2} — разбиения числа 5, поскольку 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всего существует разбиений числа 5: {1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1}, {3, 1, 1}, {3, 2}, {4, 1}, {5}.

Некоторые значения числа разбиений приведены в следующей таблице[1]:

n p(n) Разбиения
1 1 {1}
2 2 {2}, {1, 1}
3 3 {3}, {2, 1}, {1, 1, 1}
4 5 {4}, {3, 1}, {2, 2}, {2, 1, 1}, {1, 1, 1, 1}
5 7 {5}, {4, 1}, {3, 2}, {3, 1, 1}, {2, 2, 1}, {2, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1},
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42
20 627
50 204 226
100 190 569 292
1000 24061467864032622473692149727991
10000 36167251325636293988820471890953695495016030339315650422081868605887952568754066420592310556052906916435144

Число разбиений

Производящая функция

Последовательность числа разбиений имеет следующую производящую функцию:

Эта формула была открыта Эйлером в 1740 году.

Пентагональная теорема Эйлера

Изучая производящую функцию последовательности , Эйлер сосредоточил внимание на её знаменателе, то есть на произведении . При раскрытии скобок это бесконечное произведение приобретает следующий вид:

В правой части слагаемые имеют вид где  пробегает все возможные целые значения, и в этом случае сами числа называются обобщёнными пятиугольными. При натуральных они называются просто пятиугольными.[2]

Из этого наблюдения Эйлер выдвинул предположение о пентагональной теореме:

а впоследствии её доказал. Эта теорема позволяет вычислять числа разбиений при помощи деления формальных степенны́х рядов.

Асимптотические формулы

Асимптотическое выражение для количества разбиений было получено Харди и Рамануджаном в 1918 году, а в 1920 году независимо от них — российским математиком Успенским:[3]

при

Например, .

Впоследствии Харди и Рамануджан нашли более точное выражение в виде суммы, а Радемахер вывел точный сходящийся ряд, по которому можно находить сколь угодно близкие асимптотические представления:

где

Здесь суммирование ведётся по , взаимно простым с , а  — сумма Дедекинда. Ряд сходится очень быстро.

Рекуррентные формулы

Количество разбиений числа на слагаемые, не превышающие , удовлетворяет рекуррентной формуле:

с начальными значениями:

для всех

При этом количество всевозможных разбиений числа равно .

Диаграммы Юнга

Диаграмма Юнга разбиения 10 = 5 + 4 + 1.
Диаграмма Юнга разбиения 10 = 5 + 4 + 1.

Разбиения удобно представлять в виде наглядных геометрических объектов, называемых диаграммами Юнга, в честь английского математика Альфреда Юнга[en]. Диаграмма Юнга разбиения  — подмножество первого квадранта плоскости, разбитое на ячейки, каждая из которых представляет собой единичный квадрат. Ячейки размещаются в строки, первая строка имеет длину , над ней расположена строка длиной , и т. д. до -й строки длины . Строки выровнены по левому краю.

Более формально, диаграмма Юнга — это замыкание множества точек таких, что

и

где обозначает целую часть .

В англоязычной литературе диаграммы Юнга часто изображают отражёнными относительно оси абсцисс.

Схожий объект, называемый диаграммой Феррерса, отличается тем, что

  • вместо ячеек изображаются точки;
  • диаграмма транспонируется: ряды и столбцы меняются местами.

Сопряженным (или транспонированным) разбиением к называется разбиение, чья диаграмма Юнга является диаграммой Юнга разбиения , отражённая относительно прямой . Например, сопряжённым к разбиению (6,4,4,1) будет разбиение (4,3,3,3,1,1). Сопряжённое разбиение обозначается .

Сумма и произведение разбиений

Пусть имеются два разбиения и . Тогда для них определены следующие операции:

  • : ;
  • : разбиение, содержащее части и в порядке нестрогого убывания;
  • : ;
  • : разбиение, содержащее части для всех и всех в порядке нестрогого убывания.

Операции сложения, как и операции умножения, двойственны относительно сопряжения:

;
.

Порядок

Пусть имеются два разбиения и числа .

Лексикографический порядок. Говорят, что старше по лексикографическому порядку, если существует такое натуральное , что для каждого , а также .

В таблице выше разбиения расположены в лексикографическом порядке.

Естественный (частичный) порядок. Говорят, что старше по естественному порядку (обозначается ), если для каждого выполняется неравенство .

Начиная с n=6 можно найти разбиения, которые невозможно сравнить в этом смысле. Например, (3, 1, 1, 1) и (2, 2, 2).

Для естественного порядка выполняется эквивалентность:

Применение

Разбиения естественным образом возникают в ряде математических задач. Наиболее значимой из них является теория представлений симметрической группы, где разбиения естественно параметризуют все неприводимые представления. Суммы по всем разбиениям часто встречаются в математическом анализе.

См. также

Примечания

  1. Последовательность A000041 в OEIS
  2. Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-94057-731-7.
  3. Uspensky, Asymptotic Formulae for Numerical Functions Which Occur in the Theory of Partitions, Bull. Acad. Sci. URSS 14, 1920, S. 199–218

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 24 января 2022 в 21:50.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).