Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

График функции «пол» (целая часть числа)
График функции «пол» (целая часть числа)
График функции «потолок»
График функции «потолок»

В математике, целая часть вещественного числа  — округление до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примеры

Впервые квадратные скобки () для обозначения целой части числа использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности[1]. Это обозначение считалось стандартным[2], пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил[3][4][5] округление числа до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» и обозначать и соответственно.

В современной математике используются оба обозначения[6], и , однако всё более и более преимущественно применяют терминологию и обозначения Айверсона: одна из причин состоит в том, что для отрицательных чисел понятие «целая часть числа» уже является неоднозначным[5]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но на то, как определить целую часть числа −2,7, уже возможны две точки зрения: по определению, данному в этой статье, , однако в некоторых калькуляторах функция целой части INT для отрицательных чисел определяется как INT(–x) = –INT(x), так что INT(–2,7) = −2. Терминология Айверсона лишена этих недостатков:

Определения

Функция «пол» определяется как наибольшее целое, меньшее или равное :

Функция «потолок» — это наименьшее целое, большее или равное :

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):[7]

Свойства

В формулах, записанных ниже, буквами и обозначены вещественные числа, а буквами и  — целые.

Пол и потолок как функции вещественной переменной

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:

Функция потолок является:

Связь функций пол и потолок

Для произвольного числа верно неравенство[8]

Для целого пол и потолок совпадают:

Если  — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:

Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

Пол/потолок: неравенства

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [7]:

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

Пол/потолок: сложение

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [9]:

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

Пол/потолок под знаком функции

Имеет место следующее предложение:[10]

Пусть  — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

Тогда

всякий раз, когда определены .

В частности,

если и  — целые числа, и .

Пол/потолок: суммы

Если  — целые числа, , то [11]

Вообще, если  — произвольное вещественное число, а  — целое положительное, то

Имеет место более общее соотношение [12]:

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно и , то справедлив следующий закон взаимности:

Разложимость в ряд

Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду

который расходится.

Применение

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [13]

Округление

Ближайшее к целое число может быть определено по формуле

Бинарная операция mod

Операция «остаток по модулю», обозначаемая , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если  — произвольные вещественные числа, и , то неполное частное от деления на равно

,

а остаток

Дробная часть

Дробная часть вещественного числа по определению равна

Количество целых точек промежутка

Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами и , то есть количество целых чисел , удовлетворяющий неравенству

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

.

Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами и , равное .

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже [14].

(Через обозначена мощность множества ).

Первые три результата справедливы при всех , а четвёртый — только при .

Теорема Рэлея о спектре

Пусть и  — положительные иррациональные числа, связанные соотношением [15]

Тогда в ряду чисел

каждое натуральное встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности

и ,

называемые последовательностями Битти, образуют разбиение натурального ряда.[16]

В информатике

В языках программирования

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().

В системах вёрстки

В TeXLaTeX) для символов пола/потолка , , , существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

Примечания

  1. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  2. Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.
  3. Iverson, p. 12.
  4. Higham, p. 25.
  5. 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
  6. Weisstein, Eric W. Floor Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
  8. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
  9. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
  10. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
  11. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
  12. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
  13. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
  14. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
  15. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
  16. А. Баабабов. «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. — № 4. — С. 36-38.

См. также

Литература

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.
Эта страница в последний раз была отредактирована 27 мая 2021 в 06:25.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).