Две, в общем случае, комплекснозначные функции
и
, принадлежащие пространству Лебега
, где
— измеримое множество, называются ортогональными, если
![{\displaystyle \int \limits _{E}\!\varphi _{1}(t){\overline {\varphi _{2}(t)}}\,dt=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59a9165623d62b0567463d004b31c6c8af3be88)
Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом
функции
и
, если
![{\displaystyle \ \int \limits _{\Omega }\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397b6239c649a45cb46c83a15f1f6d6949017fbb)
где
— скалярное произведение векторов
и
— значений векторнозначных функций
и
в точке
,
— точка области
, а
— элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных
,
скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных
,
:
.
Требование принадлежности функций пространству
связано с тем, что при
пространства
не образуют гильбертова пространства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.
Энциклопедичный YouTube
-
1/3
Просмотров:5 650
8 586
25 982
-
What Are Orthogonal Polynomials? Inner Products on the Space of Functions
-
Orthogonality of wavefunctions
-
Пример
и
являются ортогональными функциями на интервале ![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
) и
, где
— целое, ортогональны на интервале ![{\displaystyle [0,T],T=1/k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47e09265dd29ec1e2651649251b38597b23eb65)
и
ортогональны на интервале ![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
См. также
Эта страница в последний раз была отредактирована 13 мая 2020 в 15:46.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.