Векторные расслоения на алгебраических кривых можно изучать как голоморфные векторные расслоения на компактных римановых поверхностях, что является классическим подходом, или как локально свободные пучки на алгебраических кривых C в более общем, алгебраическом окружении (которое может, например, позволять особые точки).
Некоторые фундаментальные результаты по классификации были известны в 1950-х годах. Результат Гротендика[1], что голоморфные векторные расслоения на сфере Римана являются суммами 1-мерных расслоений, часто называют теоремой Биркгофа — Гротендика, поскольку она следует из более ранней работы Биркгофа[2].
Атья[3] дал классификацию векторных расслоений на эллиптических кривых.
Теорему Римана — Роха для векторных расслоений доказал Вейль[4] ещё до того, как концепция векторного расслоения получила действительный и официальный статус, хотя соответствующие линейчатые поверхности были классическими объектами. См. Теорема Хирцебруха — Римана — Роха. Вейль рассматривал возможность обобщения многообразия Якоби путём перехода от голоморфных линейных расслоений к более высоким рангам. Эта идея оказалась плодотворной, что выразилось в исследованиях пространств модулей векторных расслоений, начиная с работы в 1960-х годах по геометрической теории инвариантов.
Примечания
Литература
- Atiyah M. Vector bundles over an elliptic curve // Proc. London Math. Soc.. — 1957. — Т. VII. — С. 414–452. — doi:10.1112/plms/s3-7.1.414.
- George David Birkhoff. Singular points of ordinary linear differential equations // Transactions of the American Mathematical Society. — 1909. — Т. 10, вып. 4. — С. 436–470. — ISSN 0002-9947. — doi:10.2307/1988594. — .
- Grothendieck A. Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann // Amer. J. Math.. — 1957. — Т. 79. — С. 121–138. — doi:10.2307/2372388. — .
- André Weil. Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1938. — Т. 179. — С. 129–133. — doi:10.1515/crll.1938.179.129.
| Рациональные кривые |
| ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Эллиптические кривые |
| ||||||||||
| Более высокий род |
| ||||||||||
| Плоские кривые |
| ||||||||||
| Римановы поверхности |
| ||||||||||
| Построения |
| ||||||||||
| Структура кривых |
| ||||||||||
Эта страница в последний раз была отредактирована 9 октября 2021 в 18:15.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.