Congruencia (teoría de números)

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros ${\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural ${\displaystyle m\,\neq \,0}$, llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación:

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

que se expresa diciendo que: ${\displaystyle a\,}$ es congruente con ${\displaystyle b\,}$ módulo ${\displaystyle m\,}$. De donde se define que dos números ${\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}$ son congruentes en módulo ${\displaystyle m\,\neq \,0}$ «» (sí y solo si) :

• ${\displaystyle m\,}$ divide exactamente a la diferencia de ${\displaystyle a\,}$ y ${\displaystyle b\,}$

${\displaystyle m\mid a-b}$

o lo que es lo mismo, ${\displaystyle a\,\textstyle {\text{y}}\displaystyle \,b}$ dejan el mismo resto en la división por ${\displaystyle m\,}$. Además, también se puede afirmar que:

• ${\displaystyle a\,}$ se puede escribir como la suma de ${\displaystyle b\,}$ y un múltiplo de ${\displaystyle m\,}$, pues si: ${\displaystyle m\mid a-b}$ » (entonces), ${\displaystyle mk=a-b}$, para algún ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \quad (entonces)\ a=b+km}$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo ${\displaystyle p\,}$ y cada entero ${\displaystyle a\,}$ no divisible por ${\displaystyle p\,}$ tenemos la congruencia:

${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.}$^[1]​

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia ${\displaystyle x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}}$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por ${\displaystyle x\equiv 4{\pmod {11}}}$ y ${\displaystyle x\equiv 7{\pmod {11}}}$, es decir ${\displaystyle x\,}$ puede ser cualquier entero de las sucesiones ${\displaystyle 11k+4\,}$ y ${\displaystyle 11k+7\,}$. Contrariamente la congruencia ${\displaystyle x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}}$, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

• La congruencia para un módulo ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ entonces también ${\displaystyle b\equiv a{\pmod {m}}}$

1. transitividad: si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle b\equiv c{\pmod {m}}}$ entonces también ${\displaystyle a\equiv c{\pmod {m}}}$.

• Si ${\displaystyle a\,}$ es coprimo con ${\displaystyle m\,}$ y ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$, entonces ${\displaystyle b\,}$ también es coprimo con ${\displaystyle m\,}$.

• Si ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle k\,}$ es un entero entonces también se cumple
  • ${\displaystyle a\pm k\equiv b\pm k{\pmod {m}}}$
  • ${\displaystyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}$
  • ${\displaystyle a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0}$

• Si además ${\displaystyle k\,}$ es coprimo con ${\displaystyle m\,}$, entonces podemos encontrar un entero ${\displaystyle h^{-1}\,}$, tal que

${\displaystyle kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}$

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

${\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}}$

donde por definición ponemos ${\displaystyle a/k=ak^{-1}\,}$.

• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}$

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

${\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}$ y ${\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}$

Véase también

• Aritmética modular

Referencias

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Congruence». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Congruencias. Lecciones de Álgebra. Jaime Gutierrez Gutierrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas Archivado el 21 de junio de 2012 en Wayback Machine.
• David M.Burton: "Elementary Number Theory"
• Enrique Arrondo: "Apuntes de Teoría Elemental de Números". En http://www.mat.ucm.es/~arrondo/ten.pdf
• Eduardo Miguel Pérez Almarales: "Congruencia Aritmética para Olimpiada de Matemática". Más sobre él en https://scholar.google.com.cu/citations?user=2U2wbD0AAAAJ&hl=es
• María Luisa Pérez Seguí: "Teoría de Numeros: Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas". En https://www.freelibros.me/matematicas/teoria-de-numeros-maria-luisa-perez-segui

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