Овал Кассини

Овал Кассини — кривая, являющаяся геометрическим местом точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа ${\displaystyle a}$. Является частным случаем торического сечения и кривой Персея.

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии, равном ${\displaystyle 2a}$, является лемниската Бернулли.

В новое время кривая была введена (переоткрыта) астрономом Джованни Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс^[1]. Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

Вариации (другие случаи)

Кривая постоянной суммы расстояний до двух заданных точек — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянной разности — гипербола.

Уравнения

Расстояние между фокусами ${\displaystyle 2c}$.

• В прямоугольных координатах:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$

Вывод

Фокусы — ${\displaystyle F_{1}(-c;0)}$ и ${\displaystyle F_{2}(c;0)}$. Возьмём произвольную точку ${\displaystyle M(x;y)}$, найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к ${\displaystyle a^{2}}$: ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}}$ Возводим в квадрат обе части равенства: ${\displaystyle \textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}}$ Раскрываем скобки в левой части: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}}$ Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: ${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$

• Явное уравнение в прямоугольных координатах:

${\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}}$

• В полярной системе координат:

${\displaystyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}}$

Особенности формы

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: ${\displaystyle c}$ — половина расстояния между фокусами и ${\displaystyle a}$ — корень квадратный из произведения расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$:

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=\infty }$, то есть ${\displaystyle \textstyle a=0}$ при ${\displaystyle \textstyle c\neq 0}$.

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При ${\displaystyle c\to \infty }$ форма кривой стремится к двум точкам.

• ${\displaystyle \textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty }$, то есть ${\displaystyle \textstyle 0<a<c}$

Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=1}$, то есть ${\displaystyle \textstyle a=c}$

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}<{\frac {c}{a}}<1}$, то есть ${\displaystyle \textstyle c<a<c{\sqrt {2}}}$

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью ${\displaystyle OY}$ стремится к нулю, когда ${\displaystyle a}$ стремится к ${\displaystyle c}$ и к бесконечности, когда ${\displaystyle a}$ стремится к ${\displaystyle c{\sqrt {2}}}$.

• ${\displaystyle \textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$, то есть ${\displaystyle \textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}}$

Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.

• ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}=0}$, то есть ${\displaystyle \textstyle c=0}$ при ${\displaystyle \textstyle a\neq 0}$

По мере увеличения ${\displaystyle a}$ (то есть стремления отношения ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$ к нулю) кривая стремится к окружности радиуса ${\displaystyle a}$. Если ${\displaystyle c=0}$, то отношение ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{a}}}$ достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
• При ${\displaystyle 0<a<c{\sqrt {2}}}$ имеет два абсолютных максимума и два минимума:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {4c^{4}-a^{4}}}{2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2}}{2c}}\end{cases}}}$

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса ${\displaystyle c}$ с центром в середине отрезка между фокусами.

• При ${\displaystyle c<a\leqslant c{\sqrt {2}}}$ кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt[{4}]{\frac {a^{4}-c^{4}}{3}}}\\\cos 2\varphi =-{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)}}\end{cases}}}$

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами ${\displaystyle \left(0;\pm c\right)}$.

• Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

${\displaystyle R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2a^{2}\rho ^{3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}}$

Применение

При двухпозиционной радиолокации областью обнаружения цели является фигура, ограниченная овалом Кассини, если принять в качестве одного его фокуса позицию источника излучения, а другого — позицию приёмника. Аналогично, в астрономии при наблюдении, например, астероидов, светящих отражённым светом Солнца, условия их обнаружения при заданной чувствительности телескопа описываются формулой овала Кассини. В этом случае границей обнаружимости будет поверхность, образованная вращением овала вокруг оси, соединяющей Солнце и наблюдателя.

Овалы Кассини на торе (тороиде)

Овалы Кассини появляются как плоские сечения тора, но только тогда, когда секущая плоскость параллельна оси тора, а её расстояние до оси равно радиусу образующей окружности (см. рисунок).

Обобщения

• Овал Кассини является частным случаем лемнискаты.

• Овал Кассини — частный случай кривой Персея.

В частности, уравнение кривой Персея в декартовой системе координат

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c}$.

при ${\displaystyle a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4}}$ переходит в уравнение овала Кассини

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}}$

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Бернулли
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Многофокусная алгебраическая кривая
• Овал Декарта

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5 томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д — Коо, с. 759.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике Архивная копия от 26 августа 2017 на Wayback Machine, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 с.

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 20 октября 2022 в 07:46.