Лемниската Бернулли

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.

История

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай^[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно^[en], опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером^[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется $2c$ , расположены они на оси $OX$ , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

параметрическое в прямоугольных координатах:
$x={\frac {c{\sqrt {2}}\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};\qquad y={\frac {c{\sqrt {2}}\sin(t)\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};$
в прямоугольных координатах:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2});

в подерных координатах^[3]:

pa^{2}=r^{3}.

Вывод

Фокусы лемнискаты — $F_{1}(-c;0)$ и $F_{2}(c;0)$ . Возьмём произвольную точку $M(x;y)$ . Произведение расстояний от фокусов до точки $M$ есть

{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}

и по определению оно равно $c^{2}$ :

{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}

Возводим в квадрат обе части равенства:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}

Раскрываем скобки в левой части:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0

Выносим общий множитель и переносим:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Далее можно сделать замену $a^{2}=2c^{2}$ , хотя это не обязательно:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})

В данном случае $a$ — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Вывод

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

\textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=2c^{2}x^{2}-2c^{2}y^{2}

Приводим к виду

\textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}=0

Это квадратное уравнение относительно $y^{2}$ . Решив его, получим

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

в полярных координатах:

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .

Вывод

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ получим:

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}=2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ :

\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )

Делим на $\rho ^{2}$ , предполагая, что $\rho \neq 0$ и используем ещё одно тождество: $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ :

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить $a^{2}=2c^{2}$ :

\textstyle \rho ^{2}=a^{2}\cos 2\varphi

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

{\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}

, где

p^{2}=\operatorname {tg} {\Big (}{\frac {\pi }{4}}-\varphi {\Big )}

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от $-\infty$ до $+\infty$ . При этом, когда параметр стремится к $-\infty$ , точка кривой стремится к $(0;0)$ из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к $+\infty$ , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Вывод уравнения

Уравнение лемнискаты в полярной системе

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi

подставим в формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ возведённые в квадрат:

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi \cos ^{2}\varphi \\y^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi \sin ^{2}\varphi \end{cases}}

Используем тригонометрические формулы $\textstyle \cos 2\alpha ={\dfrac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }},\textstyle \cos ^{2}\alpha ={\dfrac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$ и $\textstyle \sin ^{2}\alpha ={\dfrac {\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$ :

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {1-\operatorname {tg} ^{2}\varphi }{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} ^{2}\varphi \left(1-\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)^{2}}}\end{cases}}

Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение $\operatorname {tg} \alpha ={\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}}$ :

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {1-\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}}{\left(1+\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\left(1-\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)}{\left(1+\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)^{2}}}\end{cases}}

Выполнив необходимые преобразования, получаем:

\textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\left(1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\left(1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}}\end{cases}}

Извлекаем корень из обеих частей обоих равенств:

\textstyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\dfrac {\left(1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right){\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\\y=c{\sqrt {2}}{\dfrac {\left(1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right){\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\end{cases}}

Если произвести замену $\textstyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)=p^{2}$ , то получаем искомые параметрические уравнения:

\textstyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Пример

Пусть, например, $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ — фокусы.

Существует прямоугольная система координат (на рисунке — $\textstyle x''Oy''$ ), в которой уравнение лемнискаты имеет вид

\textstyle {\Big (}(x'')^{2}+(y'')^{2}{\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}(x'')^{2}-(y'')^{2}{\Big )}=0

Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее $\textstyle xOy$ в $\textstyle x''Oy''$ . Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.

Середина отрезка $F_{1}F_{2}$ — $\textstyle F\left({\frac {1}{2}};0\right)$ , значит перенос только на $\textstyle +{\frac {1}{2}}$ по оси $OX$ :

{\begin{cases}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{cases}}={\begin{cases}x'=x-{\frac {1}{2}}\\y'=y\end{cases}}

После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:

2c=|F_{1}F_{2}|={\sqrt {(2+1)^{2}+(-2-2)^{2}}}=5

значит $c={\frac {5}{2}},\,2c^{2}={\frac {25}{2}}$ .

Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона $F_{1}F_{2}$ к $OX$ :

\sin \alpha ={\frac {-2-2}{5}}=-{\frac {4}{5}},\,\,(\alpha \approx -53^{\circ })

\cos \alpha ={\frac {2-(-1)}{5}}={\frac {3}{5}}

Формулы преобразования:

{\begin{cases}x''=x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\y''=-x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \end{cases}}={\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}x'-{\frac {4}{5}}y'\\y''={\frac {4}{5}}x'+{\frac {3}{5}}y'\end{cases}}

Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:

{\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y\\y''={\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y\end{cases}}

Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:

\textstyle {\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}^{2}-2c^{2}{\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}=0

После преобразований:

x^{4}+y^{4}+24xy-2xy^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{3}+5x^{2}-4x-3y^{2}-12y+{\frac {15}{16}}=0

Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ в стандартной прямоугольной системе координат.

Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при $a=c$ , синусоидальной спирали с индексом $n=2$ и лемнискаты Бута при $c=0$ , поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

Лемниската — кривая четвёртого порядка.
Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
${\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}c\\y=\pm {\frac {c}{2}}\end{cases}}$
Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
Лемнискату описывает окружность радиуса $a=c{\sqrt {2}}$ , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

Касательные в двойной точке составляют с отрезком $F_{1}F_{2}$ углы $\textstyle \pm {\frac {\pi }{4}}$ .
Угол $\mu$ , составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен $\textstyle 2\varphi +{\frac {\pi }{2}}$ .
Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
Радиус кривизны лемнискаты есть $\textstyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}$

Вывод
Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали: $R={\frac {\rho }{(m+1)\cos m\varphi }}$ при $m=2,$ однако, легко вывести и по определению. Уравнение лемнискаты в полярной системе: $\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }$ Формулы перехода к полярной системе координат: ${\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases}}$ Выражаем $\textstyle \rho$ : ${\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi }}}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi }}}\end{cases}}$ Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем $x$ и $y$ : ${\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\end{cases}}$ —- это параметрическое уравнение относительно $\varphi$ . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно $\textstyle p$ , указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически: $R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{3/2}}{\|x'y''-x''y'\|}}$ Находим производные по $\varphi$ : $x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}$ $x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}$ $y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}$ $y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}$ Подставляем в формулу радиуса: $R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{3/2}}{\frac {6c^{2}}{\cos {2\varphi }}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$ Возвращаемся к уравнению лемнискаты: $\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho }{c{\sqrt {2}}}}$ Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем: $R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}$

Натуральное уравнение кривой имеет вид
$S=3\int {\frac {\mathrm {d} R}{\sqrt {\left({\frac {3}{c}}R\right)^{4}-1}}}$
Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
$\textstyle \rho ^{\frac {2}{3}}=(c{\sqrt {2}})^{\frac {2}{3}}\cos {\frac {2}{3}}\varphi .$
Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства

Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол $45^{\circ }$ с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
Площадь полярного сектора $\varphi \in [0,\alpha ]$ $\varphi \in [0,\alpha ]$ , при $\textstyle 0\leqslant \alpha \leqslant {\frac {\pi }{4}}$ $\textstyle 0\leqslant \alpha \leqslant {\frac {\pi }{4}}$ :
$\textstyle S(\alpha )={\frac {c^{2}}{2}}\sin 2\alpha$
- В частности, площадь каждой петли $\textstyle 2S\left({\frac {\pi }{4}}\right)=c^{2}$ , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю $c{\sqrt {2}}$ .
Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
Длина дуги лемнискаты между точками $\varphi _{1}=0$ $\varphi _{1}=0$ и $\varphi _{2}=\varphi$ $\varphi _{2}=\varphi$ выражается эллиптическим интегралом I рода:
$\displaystyle \textstyle L(\varphi )=c\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {1-2\sin ^{2}\varphi }}}={\frac {c}{\sqrt {2}}}\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {c}{\sqrt {2}}}F\left(\theta ,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),$ где $2\sin ^{2}\varphi =\sin ^{2}\theta .$
- В частности, длина всей лемнискаты
  $\textstyle 4L\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2c{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\approx 5{,}244a\approx 7{,}416c.$

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса $\textstyle {\frac {c}{\sqrt {2}}}$ с центром в одном из фокусов. Из середины $O$ фокусного отрезка строится произвольная секущая $OPS$ ( $P$ и $S$ — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки $OM_{1}$ и $OM_{2}$ , равные хорде $PS$ . Точки $M_{1}$ , $M_{2}$ лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый

На плоскости выбираются две точки — $A$ и $B$ — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — $C$ и $D$ ). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: $\textstyle AC=BD={\frac {AB}{\sqrt {2}}},\;CD=AB$ . Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — $A$ и $O$ соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок $OC$ соединяется не с концом центрального $BD$ , а с его серединой. Пропорции также другие: $\textstyle BC=CD=OC={\frac {AO}{\sqrt {2}}},\;AB=AO$ .

Построение лемнискаты при помощи секущих
Шарнирный метод
Механизм Ватта (анимация)
Другой вариант шарнирного метода

При помощи сплайна NURBS

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

№	${\frac {x{\sqrt {2}}}{c}}$	${\frac {y{\sqrt {2}}}{c}}$	$weight$
1	2	0	2
2	2	1	1
3	0	1	1
4	0	−1	1
5	−2	−1	1
6	−2	0	2
7	−2	1	1
8	0	1	1
9	0	−1	1
10	2	−1	1
11	2	0	2

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: $-1\leq p\leq 1$ .

Обобщения

Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при $n=2$ )

См. также

Примечания

↑ Статья об Овалах Кассини на сайте о плоских кривых (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано из оригинала 22 августа 2011 года.
↑ Bradley R. E., D'Antonio L. A., Sandifer C. E. Euler at 300: an appreciation. — P. 121—123.
↑ Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves, 1972, 1.1. Coordinate Systems, p. 4.

Литература

Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Популярные лекции по математике. — М.: Гостехиздат, 1952. — С. 23—25. Архивная копия от 14 сентября 2008 на Wayback Machine
Савелов А. А. Плоские кривые / Под. ред. А. П. Нордена. — М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. — С. 155—162.
Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
Lockwood E. H. A book of curves. — Cambridge: Cambridge university press, 1961. — P. 110—117.

Ссылки

Статья на сайте Wolfram MathWorld (англ.). Дата обращения: 15 июня 2010.
Статья в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (фр.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.
Фаньяно и длина дуги лемнискаты (итал.). Дата обращения: 15 июня 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.

Кривые

Определения

Преобразованные

Неплоские

Плоские
алгебраические

Конические сечения

3-й порядок (Кубика)

Эллиптические	Эллиптическая кривая Эллиптические функции Якоби Эллиптический интеграл Эллиптические функции
Другие	Верзьера Аньези Декартов лист Трисектриса Маклорена Чирнгауза Офиурида Строфоида Полукубическая парабола Трезубец Циссоида Диокла

4-й порядок

Лемнискаты

Аппроксимационные

Циклоидальные

Другие

Кривая Ферма

Плоские
трансцендентные

Спирали	Архимедова Ферма Галилея Гиперболическая «Жезл» Золотая Клотоида Логарифмическая Синусоидальная
Циклоидальные	Трохоида Циклоида Эпитрохоида Эпициклоида Гипотрохоида Гипоциклоида Квазитрохоида «Роза» Квадрифолий Скорейшего спуска (брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса Кохлеоида Погони Трактриса Трохоида Цепная линия перевёрнутая арочная Постоянной ширины Синусоида Рибокура Суперформула Суперэллипс Треугольник Рёло многоугольник Фигуры Лиссажу

Фрактальные

Простые	Гильберта Госпера Кривая дракона Коха Леви Минковского Пеано Серпинского
Топологические	Салфетка Серпинского Ковёр Серпинского Губка Менгера Круговой фрактал Ковёр Аполлония

Эта страница в последний раз была отредактирована 1 февраля 2024 в 12:46.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Из Википедии — свободной энциклопедии

Энциклопедичный YouTube

Субтитры

Содержание

История

Уравнения

Свойства

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

Собственные свойства

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена)

Шарнирные методы

Вариант первый

Вариант второй

При помощи сплайна NURBS

Обобщения

См. также

Примечания

Литература

Ссылки