У этого термина существуют и другие значения, см.
Ядро.
Ядро в алгебре — характеристика отображения
, обозначаемая
, отражающая отличие
от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента
. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения
множество
всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из
).
Если множества
и
обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то
также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ
и фактормножество
.
Ядро линейного отображения
Ядром линейного отображения
называется прообраз нулевого элемента пространства
:
.
является подпространством в
. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства
. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ
изоморфен факторпространству
по ядру
:
.
Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность
конечна:
,
а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:
,
(
).
Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.
Теория матриц
Любую прямоугольную матрицу
размера
, содержащую элементы поля
(в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор
умножения векторов слева на матрицу:
(
).
Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с
неизвестными:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\ldots ~~\ldots ~~\ldots ~~\\a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59625d05088c040e7c9ec4f501d52c8a2f8c11c)
можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора
, а задача о решении однородной системы уравнений (
) сводится к поиску ядра отображения
.
Пример
Пусть
будет линейным отображением
и:
.
Тогда его ядро является векторным подпространством:
.
Гомоморфизм групп
Если
— гомоморфизм между группами, то
образует нормальную подгруппу
.
Гомоморфизм колец
Если
— гомоморфизм между кольцами, то
образует идеал кольца
.
См. также
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
Эта страница в последний раз была отредактирована 5 июня 2024 в 15:24.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.