Теоремы Мертенса

Теоремы Мертенса — три результата 1874 года, связанные с плотностью простых чисел, доказанные Францем Мертенсом^[1]. Название «теорема Мертенса» может относиться также к его теореме в анализе.

В теории чисел

Ниже ${\displaystyle p\leqslant n}$ означает все простые числа, не превосходящие n.

Первая теорема Мертенса:

${\displaystyle \sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n}$

не превосходит 2 по абсолютной величине для любого ${\displaystyle n\geqslant 2}$. (последовательность A083343 в OEIS)

Вторая теорема Мертенса:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M\right)=0,}$

где M — константа Майсселя — Мертенса (последовательность A077761 в OEIS). Более точно, Мертенс^[1] доказал, что выражение в скобках не превосходит по абсолютному значению

${\displaystyle {\frac {4}{\ln(n+1)}}+{\frac {2}{n\ln n}}}$

для любого ${\displaystyle n\geqslant 2}$.

Третья теорема Мертенса:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },}$

где γ — постоянная Эйлера — Маскерони (последовательность A001620 в OEIS).

Изменение знака

В работе Робина^[2] о степени роста функции суммы делителей, опубликованной в 1983, Гай Робин доказал, что во второй теореме Мертенса разность

${\displaystyle \sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M}$

меняет знак бесконечно много раз, а в третьей теореме Мертенса разность

${\displaystyle \ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }}$

также меняет знак бесконечно много раз. Результаты Робина аналогичны знаменитой теореме Литлвуда, что разность ${\displaystyle \pi (x)-li(x)}$ меняет знак бесконечно много раз. Никакого аналога числу Скьюза (верхней границе для первого натурального числа x, для которого ${\displaystyle \pi (x)>li(x)}$) не известны для 2-й и 3-й теорем Мертенса.

Вторая теорема Мертенса и теорема о простых числах

Относительно асимптотической формулы Мертенс указывает в своей статье на «две любопытные формулы Лежандра»^[1], первая является прототипом второй теоремы Мертенса (а вторая является прототипом третьей теоремы Мертенса — см. первые строки статьи). Он указывает, что формула содержится в третьем издании книги Лежандра «Théorie des nombres» (1830; Фактически, он упоминал её во втором издании, 1808), а также что более тщательно проработанную версию доказал Чебышёв в 1851^[3]. Заметим, что уже в 1737, Эйлер знал асимптотическое поведение этой суммы ^[4].

Мертенс дипломатично описывает своё доказательство как более точное и строгое. В действительности, ни одно из предыдущих доказательств неприемлемо по современным стандартам — вычисления Эйлера вовлекают бесконечность (гиперболический логарифм бесконечности и логарифм логарифма бесконечности!), аргументы Лежандра эвристичны, а доказательство Чебышева, хотя безупречное, опирается на гипотезу Лежандра — Гаусса, которая была доказана лишь в 1896 и после этого стала известна как теорема о распределении простых чисел.

Доказательство Мертенса не обращается к какой-либо недоказанной гипотезе (в 1874) и использует элементарный вещественный анализ. Доказательство опубликовано на 22 года раньше первого доказательства теоремы о распределении простых чисел, которая, в отличие от доказательства Мертенса, опирается на тщательный анализ поведения дзета-функции Римана как функции комплексного переменного. Доказательство Мертенса в этом отношении замечательно. Более того, в современных обозначениях из него получается

${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)}$

с учётом того, что можно показать эквивалентность теоремы о распределении простых чисел (в её простейшей форме без оценки ошибки) формуле^[5]

${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).}$

В 1909 Ландау с помощью более совершенной версии теоремы о распределении простых чисел доказал^[6], что выполняется

${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14}})}$.

В частности, ошибка меньше, чем ${\displaystyle 1/(\log x)^{k}}$ для любого фиксированного целого k. Простое суммирование по частям, использующее наиболее сильную форму теоремы о распределении простых чисел, улучшает формулу до

${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}})}$

для некоторого ${\displaystyle c>0}$.

В теории суммируемости

В теории суммирования теорема Мертенса утверждает, что если вещественный или комплексный бесконечный ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

сходится к A, а другой ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

сходится абсолютно к B, то их произведение Коши^[en] сходится к AB.

Примечания

Литература

Литература для дальнейшего чтения

• Прахар К. Распределение простых чисел. — М.,: Мир, 1967.

• Яглом А.М., Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. — М.,: Гостехиздат, 1954. Задачи 167, 169, 170

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Mertens Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. Mertens Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Mertens' Second Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Эта страница в последний раз была отредактирована 31 января 2024 в 16:49.