Симплициальная (или комбинаторная) d-сфера — это симплициальный комплекс, гомеоморфный d-мерной сфере. Некоторые симплициальные сферы появляются как границы выпуклого многогранника, однако в более высоких размерностях большинство симплициальных сфер не может быть получено таким образом.
Наиболее важная открытая проблема этой области — g-гипотеза, сформулированная Питером Макмалленом[англ.], который задал вопрос о возможном числе граней различных размерностей симплициальной сферы. В декабре 2018 Karim Adiprasito доказал гипотезу для всех d [1].
См. также
Примеры
- Для любого n ⩾ 3 простой n-цикл Cn является симплициальной окружностью, то есть симплициальной сферой размерности 1. Это построение даёт все симплициальные окружности.
- Граница выпуклого многогранника в R3 с правильными гранями, такого как октаэдр или икосаэдр, является 2-сферой.
- Более общем случае, граница любого (d+1)-мерного компактного (или ограниченного) симплициального выпуклого многогранника в евклидовом пространстве является симплициальной сферой.
Свойства
Из формулы Эйлера следует, что любая симплициальная 2-сфера с n вершины имеет 3n − 6 рёбер и 2n − 4 граней. Случай n = 4 реализуется в виде тетраэдра. При повторном осуществлении барицентрического подразделения легко построить симплициальные сферы для любого n ⩾ 4. Однако Эрнст Штайниц дал описание 1-скелетов (графов рёбер) выпуклых многогранников в R3, из которого следует, что любая симплициальная 2-сфера является границей выпуклого многогранника.
Бранко Грюнбаум построил пример симплициальной сферы, не являющейся границей многомерного многогранника. Гиль Калай[англ.] доказал, что, фактически, «большая часть» симплициальных сфер не являются границами многогранников. Наименьший пример существует в размерности d = 4 и имеет f0 = 8 вершин.
Теорема о верхней границе даёт верхние границы для числа fi i-граней любой симплициальной d-сферы с f0 = n вершинами. Гипотезу доказал для полиэдральных сфер в 1970 Питер Макмаллен[англ.][2], а для общих симплициальных сфер в 1975 — Ричард Стэнли[англ.].
Сформулированная Макмалленом в 1970 году g-гипотеза ставит вопрос о полном описании f-векторов симплициональных d-сфер. Другими словами, каковы возможные наборы числа граней каждой размерности симплициальной d-сферы? Для полиэдральных сфер ответ даёт g-теорема, которую доказали в 1979-м Биллера и Ли (существование) и Стэнли (необходимость). Было высказано предположение, что те же самые условия необходимы для общих симплициональных сфер. На 2015 год гипотеза оставалась открытой для d=5 и выше. В декабре 2018 Karim Adiprasito доказал гипотезу для всех d [1].
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Adiprasito, 2018.
- ↑ McMullen, 1971, с. 187–200.
Литература
- Karim Adiprasito. Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity. — 2018. — arXiv:1812.10454v2.
- Richard P. Stanley. Combinatorics and commutative algebra. — Second edition. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., 1996. — Т. 41. — С. x+164. — (Progress in Mathematics). — ISBN 0-8176-3836-9.
- P. McMullen. On the upper-bound conjecture for convex polytopes // J. Combinatorial Theory. — 1971. — Вып. 10. — С. 187–200.
Эта страница в последний раз была отредактирована 14 ноября 2022 в 12:57.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.