Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Трёхмерный шар с тремя присоединёнными ручками.
Трёхмерный шар с тремя присоединёнными ручками.

Разложение на ручки m-многообразия M — это фильтрация

где каждое получается из путём присоединения -ручек. Разложение на ручки для многообразия соответствует CW-разбиению в топологическом пространстве — разложение на ручки позволяет нам использовать методы исследования CW-комплексов, адаптированные к миру гладких многообразий. Таким образом, i-ручка является гладким аналогом i-ячейки. Разложения многообразий на ручки возникают из теории Морса. Модификация структур ручек тесно связана с теорией Серфа.

Предпосылки

Рассмотрим стандартное CW-разбиение n-сферы с одной нулевой ячейкой и одной n-ячейкой. С точки зрения гладких многообразий оно является вырожденным разбиением сферы, так как нет естественного способа увидеть гладкую структуру с помощью этого разбиения, в частности, гладкая структура вблизи 0-ячейки зависит от поведения характеристического отображения в окрестности .

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что присоединяемые отображения для ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Изначальная идея для исправления этого дефекта — теорема о трубчатой окрестности. Если задана точка p на многообразии M, её замкнутая трубчатая окрестность диффеоморфна . Таким образом, мы получаем разбиение M на несвязное объединение и , склеенное по их общей границе. Главный вопрос здесь, является ли это склеивающее отображение диффеоморфизмом. Возьмём гладкую кривую вложенную в , её трубчатая окрестность диффеоморфна . Это позволяет записать как объединение трёх многообразий, склеенных вдоль частей их границ:

  1. дополнение открытой трубчатой окрестности кривой в .

Заметим, что все склеиваемые отображения являются гладкими, в частности, когда мы склеиваем с , отношение эквивалентности образуется путём вложения в , которое является гладким по теореме о трубчатой окрестности.

Разложения на ручки ввёл Стивен Смейл[1]. В оригинальной формулировке процесс присоединения j-ручки к m-многообразию M предполагает, что осуществляется вложение в . Пусть . Многообразие (другими словами, объединение M с j-ручкой вдоль f ) соответствует несвязному объединению и с отождествлением с его образом в , то есть:

где отношение эквивалентности задаётся как для всех .

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j-ручек, если объединение M с конечным числом j-ручек диффеоморфно N. Тогда разложение на ручки многообразия определяется как постепенное присоединение к пустому множеству ручек, так чтобы в конечном счёте получилось . Таким образом, многообразие имеет разложение на ручки только с 0-ручками, если оно диффеоморфно несвязному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее ручки только двух типов (то есть 0-ручки и j-ручки для некоторого фиксированного j) называется телом с ручками.

Терминология

Возьмём объединение M с j-ручкой :

называется приклеивающей сферой (или подошвенной сферой)[2].

иногда называется оснащением приклеивающей сферы, поскольку оно даёт тривиализацию его нормального расслоения.

является опоясывающей сферой ручки в .

Многообразие, полученное присоединением копий -ручек к диску , является (m, k)-телом с ручками рода g .

Представления кобордизмов

Представление кобордизма ручками состоит из кобордизма W где и фильтрации

где и являются -мерными многообразиями, -мерным, диффеоморфно , а получается из путём присоединения i-ручек. Поскольку разложения на ручки являются для многообразий аналогом разложений на ячейки топологических пространств, представления кобордизмов ручками для многообразий с границами являются аналогом относительных разложений ячеек пар пространств.

С точки зрения теории Морса

Если задана функция Морса на компактном многообразии M без края, таком что критические точки функции удовлетворяют и выполняется

,

тогда для всех j диффеоморфно , где — индекс критической точки . Индекс соответствует размерности максимального подпространства касательного пространства , где гессиан отрицательно определён.

Если индексы удовлетворяют неравенству , то получается разложение на ручки многообразия M. Более того, любое многообразие имеет такую функцию Морса, так что они имеют разложения на ручки. Похожим образом, если задан кобордизм с и функция , которая является функцией Морса на внутренности, постоянна на границе и удовлетворяет свойству увеличения индекса, существует порождённое представление ручек кобордизма W.

Если  — функция Морса , также является функцией Морса. Соответствующее разложение на ручки/представление кобордизма называется двойственным разложением.

Некоторые главные теоремы и наблюдения

  • Разбиение Хегора замкнутого ориентируемого 3-многообразия является разбиением 3-многообразия на объединение двух (3,1)-тел с ручками вдоль их общей границы, которое называется разбиением Хегора для поверхности. Разбиения Хегора возникают для 3-многообразий несколькими естественными путями. Если задано разложение 3-многообразия на ручки , объединение 0- и 1-ручек является (3,1)-телом с ручками и объединение 3- и 2-ручек также даёт (3,1)-тело с ручками (с точки зрения двойственного разбиения), то есть разбиение Хегора. Если 3-многообразие имеет триангуляцию T, существует порождённое разбиение Хегора, где первое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность 1-остова , а другое (3,1)-тело с ручками — это регулярная окрестность двойственного 1-остова.
  • Если присоединить две ручки в последовательности , можно изменить порядок присоединения, обеспечивая , то есть это многообразие диффеоморфно многообразию вида для подходящих отображений присоединения.
  • Граница диффеоморфна , разрезанному вдоль оснащённой сферы . Это основная связь между хирургией, ручками и функциями Морса.
  • Как следствие, m-многообразие M является границей m+1-многообразия W тогда и только тогда, когда M может быть получено из хирургией на наборе оснащённых зацеплений в . Например, известно, что любое 3-многообразие является границой 4-многообразия (подобным же образом ориентированные спинорные 3-многообразия являются границей ориентированных и спинорных 4-многообразий соответственно) согласно работе Рене Тома о кобордизмах. Таким образом, любое 3-многообразие может быть получено хирургией на оснащённых зацеплениях на 3-сфере. В ориентированном случае принято сводить эти оснащённые зацепления к оснащённому вложению несвязного объединения окружностей.
  • Теорема о h-кобордизме доказана путём упрощения разложений на ручки гладких многообразий.

См. также

Примечания

  1. Smale, 1962, с. 387–399.
  2. Скорпан, 2016, с. 46.

Литература

  • Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. — 1962. — Т. 84.
    • Статья перепечатана в книге:S. Smale. On the structure of manifolds // Topological library. Part 1: Cobordisms and their applications / Editor-in-charge: Louis H. Kauffman; Editors: S. P. Novikov, I. A. Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. — Т. 39. — (SERIES ON KNOTS AND EVERYTHING). — ISBN 978-981-270-559-4.
  • Скорпан А. Удивительный мир четырёхмерных многообразий. — М.: МЦНМО, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7.

Основная литература

  • Kosinksi A. Differential Manifolds. — Academic Press, 1992. — Т. 138. — (Pure and Applied Mathematics).
  • Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-Manifolds and Kirby Calculus. — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-0994-6.
Эта страница в последний раз была отредактирована 11 мая 2020 в 00:30.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).