Разбиение Хегора

Разбиение Хегора — разбиение компактного ориентированного трёхмерного многообразия на два тела с ручками.

Названо в честь Поула Хегора^[англ.], который положил начало изучению таких разбиений в 1898 году^[1].

Конструкция

Для любого компактного трёхмерного многообразия ${\displaystyle M}$ существует поверхность ${\displaystyle S}$, разрезающая ${\displaystyle M}$ на два тела с ручками, то есть на многообразия, гомеоморфные замкнутой области евклидова пространства, ограниченной поверхностью.

Род поверхности ${\displaystyle S}$ называется родом разбиения. Разбиение ${\displaystyle M}$ называется минимальным, если ${\displaystyle M}$ не допускает разбиения меньшего рода. Минимальное значение рода поверхности называется родом Хегора многообразия ${\displaystyle M}$.

Примеры

• Трёхмерная сфера ${\displaystyle S^{3}}$ допускает разбиение Хегора рода ноль. Иначе говоря, 2-мерная сфера разрезает ${\displaystyle S^{3}}$ на два шара.
  • Более того, все многообразия, допускающие разбиение Хегора рода ноль, гомеоморфны ${\displaystyle S^{3}}$.
• Вложенный тор разбивает сферу на два полнотория, это даёт другое разбиение Хегора ${\displaystyle S^{3}}$ рода 1. (См. также расслоение Хопфа.)
• Линзовые пространства допускают разбиение Хегора рода один. Иначе говоря, любое линзовое пространство можно разрезать тором на два полнотория.

Свойства

• Лемма Александера: с точностью до изотопии, существует единственное (кусочно-линейное) вложение двумерной сферы в трёхмерную сферу.
  • Эту теорему можно переформулировать следующим образом: трёхмерная сфера  ${\displaystyle S^{3}}$ допускает единственное разбиение Хегора рода ноль.

• Теорема Вальдхаузена^[2]: каждое разбиение ${\displaystyle S^{3}}$ получается из разбиения рода ноль путём операции связной суммы с разбиением сферы рода 1.

• Теорема Райдемейстера — Зингера: для любой пары разбиений ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ многообразия ${\displaystyle M}$ существует третье разбиение ${\displaystyle H}$, которое является стабилизацией обоих. То есть ${\displaystyle H}$ можно получить из ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$ путём взятия связной суммы с разбиением ${\displaystyle S^{3}}$ рода 1.

• Любая минимальная поверхность в трёхмерном римановом многообразии положительной кривизны задаёт разложение Хегора.

Литература

• Математическая энциклопедия. М.: 197* — 1985, том 5, стр.780. (Разбиение Хегора.)
• Фоменко, А.Т. Геометрия и топология. Наглядная геометрия и топология. М. 1992. (Глава 2. Многообразия малой размерности.)

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 18 мая 2023 в 08:41.