Полунорма или преднорма — обобщение понятия норма; в отличие от последней, полунорма может равняться нулю на ненулевых элементах пространства.
Энциклопедичный YouTube
-
Mathematical research achievements of Buldygin (субтитры на русском)
Определение
Полунормой называется неотрицательная функция
, в линейном пространстве
над полем вещественных или комплексных чисел, удовлетворяющая следующим условиям:
- Абсолютная однородность:
для любого скаляра ![\alpha](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
- Неравенство треугольника:
для всех ![x, y \in L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc62ff654b573c3c145dfa8123a1e5a0fef30ab)
Пространство
называется полунормированным пространством.
Свойства
![p(0)=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df600d917235e20e5e10b610cb8587599422a528)
- Это свойство следует из первого условия определения и равенства
, здесь первый нуль принадлежит полю вещественных или комплексных чисел, а второй и третий — пространству
:
(где
следует из линейности
)
![p(x)=p(-x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e2f4e1d3d05799adb29de7a743f1e46e6ba9062)
- Это свойство также получается из первого условия при
.
![p(x) \geqslant 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc3e887a6d91916a2dbbd6ee8dc7cbf846f432a)
- Если предположить существование такого
, что
, то из первого условия определения следует, что и
. Воспользовавшись вторым условием,
получаем противоречие с первым свойством.
Литература
- Рудин У. Функциональный анализ, пер. с англ., — М., 1975.
Эта страница в последний раз была отредактирована 13 июля 2016 в 15:42.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.