Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности — бинарное отношение между элементами данного множества, свойства которого сходны со свойствами отношения равенства.

Определение

Отношение эквивалентности (${\displaystyle \sim }$) на множестве ${\displaystyle X}$ — это бинарное отношение, для которого при любых ${\displaystyle a,b,c}$ из ${\displaystyle X}$ выполнены следующие условия:

1. рефлексивность: ${\displaystyle a\sim a}$;
2. симметричность: если ${\displaystyle a\sim b}$, то ${\displaystyle b\sim a}$;
3. транзитивность: если ${\displaystyle a\sim b}$ и ${\displaystyle b\sim c}$, то ${\displaystyle a\sim c}$.

Запись вида «${\displaystyle a\sim b}$» читается как «${\displaystyle a}$ эквивалентно ${\displaystyle b}$».

Связанные определения

Классом эквивалентности ${\displaystyle [a]\subset X}$ элемента ${\displaystyle a\in X}$ называется подмножество элементов, эквивалентных ${\displaystyle a}$; то есть,

${\displaystyle [a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}}$.

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если ${\displaystyle b\in [a]}$, то ${\displaystyle [a]=[b]}$.

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества ${\displaystyle X}$ по заданному отношению ${\displaystyle \sim }$, обозначается ${\displaystyle X/{\sim }}$.

Для класса эквивалентности элемента ${\displaystyle a}$ используются следующие обозначения: ${\displaystyle [a]}$, ${\displaystyle a/{\sim }}$, ${\displaystyle {\overline {a}}}$.

Множество классов эквивалентности по отношению ${\displaystyle \sim }$ является разбиением множества.

Примеры

• Равенство («${\displaystyle =}$»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
• Сравнение по модулю: а ≡ b (mod n).
• В евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности («${\displaystyle \cong }$»).
  • Отношение подобия («${\displaystyle \sim }$»).
  • Отношение параллельности прямых («${\displaystyle \|}$») (если считать каждую прямую параллельной самой себе).
• Эквивалентность функций в математическом анализе:

  Говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ эквивалентна функции ${\displaystyle g(x)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$, если она допускает представление вида ${\displaystyle f(x)=\alpha (x)g(x)}$, где ${\displaystyle \alpha (x)\rightarrow 1}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$. В этом случае пишут ${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$, напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$. Если ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ при ${\displaystyle x\neq x_{0}}$, эквивалентность функций ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ при ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$, очевидно, равносильна соотношению ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$.

• Эквивалентность норм на векторном пространстве.
• Отношение равномощности множеств.
• Изоморфизм групп, колец, векторных пространств
• Эквивалентность категорий.
• Изоморфизм в некоторой категории задаёт отношение эквивалентности на этой категории.
• Эквивалентность гладких атласов гладкого многообразия.

Классы эквивалентности

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности ${\displaystyle \sim }$, обозначается символом ${\displaystyle X/{\sim }}$ и называется фактормножеством относительно ${\displaystyle \sim }$. При этом сюръективное отображение

${\displaystyle p\colon x\mapsto [x]}$

называется естественным отображением (или канонической проекцией) ${\displaystyle X}$ на фактормножество ${\displaystyle X/{\sim }}$.

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — множества, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — отображение, тогда бинарное отношение ${\displaystyle x\sim y}$, определённое правилом

${\displaystyle x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X}$,

является отношением эквивалентности на ${\displaystyle X}$. При этом отображение ${\displaystyle f}$ индуцирует отображение ${\displaystyle {\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y}$, определяемое правилом

${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$

или, что то же самое,

${\displaystyle ({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)}$.

При этом получается факторизация отображения ${\displaystyle f}$ на сюръективное отображение ${\displaystyle p}$ и инъективное отображение ${\displaystyle {\overline {f}}}$.

См. также

• Отношение толерантности — ослабленная форма эквивалентности.
• Эквиваленция — логическая операция.
• Знак равенства.

Литература

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
• Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М.: Советская энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.

Эта страница в последний раз была отредактирована 29 марта 2024 в 16:59.