Relación de equivalencia

En teoría de conjuntos y álgebra, la noción de relación de equivalencia sobre un conjunto permite establecer una relación entre los elementos del conjunto que comparten cierta característica o propiedad. Esto permite reagrupar dichos elementos en clases de equivalencia, es decir, «paquetes» de elementos similares. Esto posibilita la construcción de nuevos conjuntos «juntando» todos los elementos de una misma clase como un solo elemento que los representará y que define la noción de conjunto cociente.^[1]​

Definición

Sea ${\displaystyle K}$ un conjunto dado no vacío y ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ una relación binaria definida sobre ${\displaystyle K}$. Se dice que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

• Reflexividad: Todo elemento de ${\displaystyle K}$ está relacionado consigo mismo. Es decir,

${\displaystyle \forall x\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}x}$.

• Simetría: Si un elemento de ${\displaystyle K}$ está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

${\displaystyle \forall x,y\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\;\Rightarrow \;y{\mathcal {R}}x}$.

• Transitividad: Si un elemento de ${\displaystyle K}$ está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

${\displaystyle \forall x,y,z\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\quad \Rightarrow \quad x{\mathcal {R}}z}$.

Notación:

En aritmética modular la relación de equivalencia entre dos elementos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ se denota ${\displaystyle x\equiv y(modR)}$ que se lee « ${\displaystyle x}$ es equivalente a ${\displaystyle y}$ módulo ${\displaystyle R}$ ».

Una relación de equivalencia ${\displaystyle \sim }$ sobre un cuerpo ${\displaystyle K}$ puede denotarse con el par ${\displaystyle (K,\sim )\,}$.

Clase de equivalencia o relación de equivalencia

En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ define subconjuntos disjuntos en ${\displaystyle K}$ llamados clases de equivalencia:

Dado un elemento ${\displaystyle a\in K}$, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con ${\displaystyle a}$ definen la clase:

${\displaystyle [a]=\{b\in K\,|\,a{\mathcal {R}}b\}}$

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento ${\displaystyle a}$.

Al elemento ${\displaystyle a}$ se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si este es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en la ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia sobre la base de algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.^{[cita requerida]}

Conjunto cociente

Al conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se denota como:

${\displaystyle K/{\mathcal {R}}}$ o ${\displaystyle K/\sim }$

Partición

Una relación de equivalencia sobre un conjunto induce una partición del mismo, es decir, un conjunto en el que se ha definido una relación de equivalencia puede ser dividido en varios subconjuntos de elementos equivalentes entre sí y tales que la reunión de esos subconjuntos coincide con el conjunto entero. El siguiente teorema expresa en términos más formales esa misma idea:

Proposición: Una relación de equivalencia en el conjunto no vacío K determina una partición de este, y toda partición de K determina una relación de equivalencia en este.

Demostración

Dada una relación de equivalencia ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ en K: Para ver que la intersección es vacía, supongamos que no lo es, es decir, dados [a] y [b] dos clases distintas y ${\displaystyle c\in [a]\cap [b]}$ entonces se tiene: Por simetría ${\displaystyle c{\mathcal {R}}b\Rightarrow b{\mathcal {R}}c.}$ Por transitividad ${\displaystyle b{\mathcal {R}}c}$ y ${\displaystyle c{\mathcal {R}}a\Rightarrow b{\mathcal {R}}a.}$ Por tanto [a]=[b] que es una contradicción, por tanto, dos clases distintas no tienen elementos en común, así como todo elemento de K pertenece a una clase, queda bien definida una partición. Dada una partición de K, ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$, podemos definir la siguiente clase de equivalencia: Dados dos elementos a y b de K están relacionados si pertenecen al mismo conjunto ${\displaystyle A_{i}.}$

La partición tiene como elementos las clases de equivalencia. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K.

• para cualesquiera dos ${\displaystyle a_{i},a_{j}}$ no relacionados tenemos: ${\displaystyle [a_{i}]\cap [a_{j}]=\emptyset }$;
• la unión de todos integra al total: ${\displaystyle \bigcup _{s}[a_{s}]=K}$

Ejemplos

• Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de equivalencia en NxN, como sigue: (a;b)~ (c;d) si y solo si a+d = b +c. Esta es una relación de equivalencia en NxN y cada clase de equivalencia es un número entero. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) se llama representante canónico y se denota, simplificadamente, 2.

• La igualdad matemática

• La relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros (i. e. ${\displaystyle M\in \mathbb {Z} }$), donde se define: ${\displaystyle a\sim b}$ si y solo si ${\displaystyle a-b\,}$ es múltiplo de M.

Esta relación es de equivalencia porque:

• Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
• Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
• Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares.

• Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo para elementos del grupo ${\displaystyle a\sim b}$ si y solo si ${\displaystyle ab^{-1}\in H}$, se tendrá la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H.

• Definiendo, para elementos del grupo, ${\displaystyle a\sim b}$ si y solo si existe g en G tal que ${\displaystyle gag^{-1}=b}$, se llama relación de conjugación. Sus clases se denominan clases de conjugación. Las clases de equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación.^{[cita requerida]}

• Sean los números reales a y b, diremos que ${\displaystyle a\sim b}$ si y solo si sus máximos enteros son iguales. La clase de equivalencia son los intervalos [n; n+1) donde n es un número entero. Así 3,56 y 3,875 son equivalentes pues tienen el mismo máximo entero = 3.

Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia

Un resultado clave vincula las relaciones de equivalencia y las particiones:^[2]​^[3]​^[4]​

• Una relación de equivalencia ~ sobre un conjunto X divide a X.
• A la inversa, correspondiente a cualquier partición de X, existe una relación de equivalencia ~ sobre X.

En ambos casos, las celdas de la partición de X son las clases de equivalencia de X por ~. Dado que cada elemento de X pertenece a una celda única de cualquier partición de X, y dado que cada celda de la partición es idéntica a una clase de equivalencia de X por ~, cada elemento de ' 'X pertenece a una clase de equivalencia única de X por ~. Así, hay una biyección natural entre el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en X y el conjunto de todas las particiones de X.

Comparando relaciones de equivalencia

Si ${\displaystyle \sim }$ and ${\displaystyle \approx }$ son dos relaciones de equivalencia en el mismo conjunto ${\displaystyle S}$, y ${\displaystyle a\sim b}$ implica que ${\displaystyle a\approx b}$ para todos ${\displaystyle a,b\in S,}$ entonces ${\displaystyle \approx }$ se dice que es una relación más gruesa que ${\displaystyle \sim }$, y ${\displaystyle \sim }$ es una relación más fina que ${\displaystyle \approx }$. Equivalentemente,

• ${\displaystyle \sim }$ es más fino que ${\displaystyle \approx }$ si cada clase de equivalencia de ${\displaystyle \sim }$ es un subconjunto de una clase de equivalencia de ${\displaystyle \approx }$, y por lo tanto cada clase de equivalencia de ${\displaystyle \approx }$ es una unión de clases de equivalencia de ${\displaystyle \sim }$.
• ${\displaystyle \sim }$ es más fino que ${\displaystyle \approx }$ si la partición creada por ${\displaystyle \sim }$ es un refinamiento de la partición creada por ${\displaystyle \approx }$.

La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina de cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más tosca.

La relación "${\displaystyle \sim }$ es más fino que ${\displaystyle \approx }$" sobre la colección de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí misma una relación de orden parcial, lo que hace que la colección sea una red geométrica.^[5]​

Véase también

• equivalencia lógica

• espacio vectorial cociente
• teoría del orden

• topología cociente

Referencias

Bibliografía

• Weisstein, Eric W. «Relación de equivalencia». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
• Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422–433.
• Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• James R.Munkres,Topología, (2002),Prentice Hall.
• John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

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