Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Многочлены Бернулли
Многочлены Бернулли

В математике Многочле́ны Берну́лли — многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица, также являются частным случаем последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.

Определение

Многочлены Бернулли можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.

Явная формула

, где  — биномиальные коэффициенты,  — числа Бернулли.

Или

Производящая функция

Производящей функцией для многочленов Бернулли является

Представление дифференциальным оператором

, где оператор формального дифференцирования.

Явное выражение для небольших степеней

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

Свойства

Начальные значения

начальные значения многочленов Бернулли при равны соответствующим числам Бернулли:

.

Дифференцирование и интегрирование

Вычисляя производную от производящей функции:

.

Левая часть отличается от производящей функции только множителем , поэтому

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:

, откуда
. (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

.

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

(при )

Теорема об умножении аргумента

Пусть m — произвольное натуральное число, тогда

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

.

Симметрия

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 22 июля 2020 в 12:51.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).