Формула
L
n
(
x
)
=
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)}
Скалярное произведение
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
0
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
e
−
x
d
x
{\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx}
Область определения
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
Дифференциальное уравнение
x
y
″
+
(
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
,
{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,}
Названы в честь
Лагерр, Эдмон Никола
В математике многочлены Лаге́рра , названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886),
являются каноническими решениями уравнения Лагерра :
x
y
″
+
(
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
,
{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,}
являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра[1] квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:
∫
0
∞
f
(
x
)
e
−
x
d
x
.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}
Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как
L
0
,
L
1
,
…
{\displaystyle L_{0},\;L_{1},\;\ldots }
формуле Родрига
L
n
(
x
)
=
e
x
n
!
d
n
d
x
n
(
e
−
x
x
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
k
!
(
n
k
)
x
k
.
{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}.}
Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением :
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
0
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
e
−
x
d
x
.
{\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}
Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.
Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.
Имеются и другие применения многочленов Лагерра.
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
Просмотров: 2 265
857
2 728
5 463
809
Лекция 10: Интерполяция многочленами Чебышева
Интерполяция в форме Эрмита. Тема
Лекция 154: Интерполяционный полином в форме Ньютона
Лекция 152: Интерполяция функций многочленами
Содержание Несколько первых многочленов В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:
n
{\displaystyle n}
L
n
(
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)}
0
1
{\displaystyle 1}
1
−
x
+
1
{\displaystyle -x+1}
2
1
2
(
x
2
−
4
x
+
2
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)}
3
1
6
(
−
x
3
+
9
x
2
−
18
x
+
6
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)}
4
1
24
(
x
4
−
16
x
3
+
72
x
2
−
96
x
+
24
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)}
5
1
120
(
−
x
5
+
25
x
4
−
200
x
3
+
600
x
2
−
600
x
+
120
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}
6
1
720
(
x
6
−
36
x
5
+
450
x
4
−
2400
x
3
+
5400
x
2
−
4320
x
+
720
)
{\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)}
Первые 6 многочленов Лагерра. Рекуррентная формула Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:
L
k
+
1
(
x
)
=
1
k
+
1
[
(
2
k
+
1
−
x
)
L
k
(
x
)
−
k
L
k
−
1
(
x
)
]
,
∀
k
⩾
1
,
{\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}{\bigl [}(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x){\bigr ]},\quad \forall k\geqslant 1,}
предопределив первые два полинома как:
L
0
(
x
)
=
1
,
{\displaystyle L_{0}(x)=1,}
L
1
(
x
)
=
1
−
x
.
{\displaystyle L_{1}(x)=1-x.}
Обобщённые полиномы Лагерра Обобщённые полиномы Лагерра
L
n
a
(
x
)
{\displaystyle L_{n}^{a}(x)}
x
y
″
+
(
a
+
1
−
x
)
y
′
+
n
y
=
0
,
{\displaystyle x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,}
так что
L
n
(
x
)
=
L
n
0
(
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)=L_{n}^{0}(x)}
Примечания
Эта страница в последний раз была отредактирована 11 февраля 2019 в 15:18.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
![{\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}{\bigl [}(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x){\bigr ]},\quad \forall k\geqslant 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47a09527a0dcf7ba5ade8fb73782f3397140919)
Эта страница в последний раз была отредактирована 11 февраля 2019 в 15:18.