Бикасательные плоской кривой четвёртой степени

Плоская кривая четвёртой степени общего вида имеет 28 бикасательных, то есть прямых, касающихся кривой в двух точках. Эти прямые существуют в комплексной проективной плоскости, но можно найти кривые, для которых все 28 из этих прямых имеют вещественные числа в качестве координат, а потому принадлежит евклидовой плоскости.

Явные кривые четвёртого порядка с двадцатью восемью вещественными бикасательными первым нашёл Юлиус Плюккер^[1][2]. Как показал Плюккер, число вещественных бикасательных любой кривой четвёртого порядка должно быть равно 28, 16 или должно быть меньше 9. Другую кривую четвёртого порядка с 28 вещественными бикасательными можно образовать как геометрическое место точек центров эллипсов с фиксированными длинами осей, касающихся двух непараллельных прямых^[3]. Шиода^[4] дал другое построение кривых четвёртого порядка с двадцатью восемью бикасательными, которая образуется проекцией кубической поверхности. Двадцать семь бикасательных кривой Шиода вещественны, а двадцать восьмая является бесконечно удалённой прямой^[en] в проективной плоскости.

Пример

Кривая Тротта, другая кривая с 28 вещественными бикасательными, является множеством точек (x,y), удовлетворяющих уравнению четвёртой степени

${\displaystyle \displaystyle 144(x^{4}+y^{4})-225(x^{2}+y^{2})+350x^{2}y^{2}+81=0.}$

Эти точки образуют несингулярную кривую четвёртого порядка, имеющую род три и двадцать восемь вещественных бикасательных^[5].

Подобно примеру Плюкера и кривой Блюма и Гуинанда, кривая Тротта имеет четыре раздельных (неправильных) овала, максимальное число для кривых четвёртого порядка, а потому является M-кривой. Четыре овала можно сгруппировать в шесть различных пар овалов. Для каждой пары овалов имеется четыре бикасательных, касающихся обоих овалов в паре, две прямые разделяют овалы и две не разделяют. Кроме того, каждый овал ограничивает невыпуклую область плоскости и имеет одну бикасательную, связывающую невыпуклые порции границы.

Связь с другими структурами

Двойственная кривая (первичной) кривой четвёртого порядка имеет 28 вещественных обыкновенных двойных точек, двойственных 28 бикасательным первичной кривой.

28 бикасательных кривой четвёртого порядка могут быть сопоставлены символам вида

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\\end{array}}\right]}$

где a, b, c, d, e и f равны нулю или единице и для них выполняется

${\displaystyle ad+be+cf=1{\pmod {2}}}$^[6][7].

Существует 64 комплекта a, b, c, d, e и f, но только 28 из них дают нечётную сумму. Можно интерпретировать a, b и c как однородные координаты точки плоскости Фано, а d, e и f как координаты прямой в той же конечной проективной плоскости. Условие нечётности суммы эквивалентно требованию, что точка не лежит на прямой, и существует 28 различных пар таких точек и прямых.

Точки и прямые плоскости Фано, образующие неинцидентные пары, образуют треугольник, и бикасательные кривой четвёртого порядка можно рассматривать как соответствующие 28 треугольникам плоскости Фано^[8]. Графом Леви плоскости Фано служит граф Хивуда, в котором треугольники плоскости Фано представлены 6-циклами. 28 6-циклов графа Хивуда, в свою очередь, соответствуют 28 вершинам графа Коксетера^[9].

28 бикасательных кривой четвёртого порядка также соответствуют 56 парам прямых поверхности дель Пеццо^[en] степени 2^[8] и 28 нечётным тэта-характеристикам^[en].

27 прямых кривой третьего порядка и 28 бикасательных кривой четвёртого порядка, вместе со 120 трикасательными плоскостями канонической кривой шестого порядка рода 4 образуют «„троицу“» Арнольда, точнее, образуют соответствие Маккея^{[en][10][11][12]} и могут быть связаны с многими другими объектами, включая E₇ и E₈, как обсуждается в статье «ADE-классификация».

Примечания

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 17 марта 2022 в 11:43.