Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Геометрическое место точек

Из Википедии — свободной энциклопедии

Геометри́ческое ме́сто то́чек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

Энциклопедичный YouTube

  • 1/3
    Просмотров:
    525
    536
    3 811
  • ✪ Определение параболы как ГМТ
  • ✪ 124. Задачи на поверхности второго порядка. Геометрическое место точек
  • ✪ Сопротивление материалов. Лекция 21 (тензор напряжений, главные напряжения)

Субтитры

Здравствуйте, дорогие друзья! Мы сейчас будем с вами заниматься геометрией, а потом алгеброй, а потом все смешаем и назовем это математикой. Очень простой вопрос. Представьте себе, что там, где я поставил белую точку, играет музыка (одна колонка). А потом появился техник и поставил колонку еще и на место розовой точки. Причем расстояние между ними довольно большое. Если вы встанете в зеленый крестик, то для вас музыка будет доноситься из двух мест с задержкой. Из одного с большей задержкой, чем из другого. Как бы встать так, чтобы слышать музыку левым и правым ухом совершенно одинаково, синхронно? То есть встать на равных расстояниях от двух колонок. Ответ очень простой, вы, конечно, знаете, если ходили хотя бы в 7 класс. А если не ходили, можете догадаться интуитивно. Надо построить отрезок, соединяющий розовую и белую точки, и в его центре (в его серединке) изобразить перпендикуляр. Тогда любая точка вертикального на этой доске перпендикуляра одинаково удалена от розовой и от белой. Почему так? Очень просто. Здесь два одинаковых треугольника. Почему они одинаковые? Потому что у них есть общая сторона, еще две стороны отмечены равными штрихами. И прямые углы тоже, конечно, равны друг другу. Как следствие, мы имеем право поставить равные отметки на таких сторонах. Итак, мы с вами нарисовали геометрическое место точек, одинаково удаленных от двух заданных точек. А как насчет двух прямых? Давайте нарисуем пару прямых. Я нарисую две параллельные прямые для начала. Это два берега и вы хотите плыть (по какой-то причине) на равных удалениях от этих двух берегов. Как построить эту траекторию? Давайте снова построим перпендикуляр к двум параллельным прямым. Найдем его середку. А дальше, вооружившись глазомером, пытаемся изобразить зеленую линию параллельно этим двум берегам. Конечно, если мы возьмем любую точку на этой зеленой линии и опустим перпендикуляр на какой-нибудь берег, то мы можем увидеть прямоугольник. А значит, эти стороны будут равны. Прямые могут и пересекаться. И тогда вы тоже легко решите такую задачу: множество точек, одинаково удаленных от этих двух прямых — это пара биссектрисс. Все эти решения строятся циркулем и линейкой и совершенно легко проходятся на геометрии. А сейчас я вам предложу еще одно множество, которое задается не двумя одинаковыми объектами, а один объект мы возьмем из первой задачи: где-то стоит точка, а другой объект — из второй: есть прямая. Причем эта точка нам нужна надолго, поэтому мы введем ей персональное имя: мы скажем, что это точка F. Прямая тоже персонализирована и называется буквой d. Представьте себе на мгновение, что это граница пляжа: выше пляж, а ниже море. А точка F — это, например, киоск с мороженым. И вы хотите сесть так, чтобы до киоска с мороженым и до берега было равное расстояние. Тогда пример такого места совершенно очевиден: точно так же, как и здесь, и здесь, мы строим перпендикуляр из точки F на прямую d, находим его середку и вот это самое выигрышное место: вам до киоска очень мало идти и до моря очень мало идти. А как по-другому можно сесть, чтобы тоже было одинаковое расстояние и до киоска, и до берега моря? Вот пример еще один. Если мы построим квадрат с такой стороной, то тогда равенство этих сторон и перпендикуляр здесь тоже нам гарантируют, что эта точка годится. Причем ясно, что раз пряж простирается в обе стороны, то и здесь мы можем нарисовать такой же квадрат. Решение будет симметрично. Давайте запишем решение для такой задачи. Мы ищем вот что: нам нужно множество букв М (точек, обозначенных буквой М), а условие на них вот какое: (вот эта годится быть буквой М) расстояние от любой точки из этого множества до F равняется... Вместо слова "расстояние" я сейчас напишу букву "ро", потому что я хочу расстояние от точки М до прямой d. Поскольку мы ищем множество, здесь стоят фигурные скобки. И мы ищем все такие точки, обозначенные буквой М, чтобы выполнялось это равенство. Две мы уже нашли. Я имею право обвести эту точку зеленым кружочком и эту тоже. Есть ли хотя бы одна точка между ними, которая принадлежит этому множеству? Одинаково удалена и от F, и от d. Да, есть. Давайте попробуем сделать следующее. Шагнем на какую-нибудь величину влево от известной нам точки из множества. Вопрос: тогда мы получим точку из этого же множества? Посмотрим на эту фигурку, на этот четырехугольник. Это прямоугольник, поэтому здесь тоже допустим один штрих. Расстояние от полученной точки до F как связано с этим отрезком? Конечно, оно больше, здесь нельзя поставить один штрих, потому что такой наклонный отрезок — это гипотинуза в треугольнике, где катет отмечен одним штрихом. Эта точка слишком низко, слишком близка к прямой d. Значит, надо ее немножко приподнять. Приподнять настолько, чтобы она достаточно удалилась от d и немножко приблизилась к F. Как именно — пока не будем выяснять, но это возможно. Идея такая: двигаясь влево и поднимаясь вверх, мы можем получать точки, принадлежащие множеству М. И если еще допустить, что шаг может быть сколь угодно маленьким, тогда поймем, что множество это непрерывно: это линия, которую можно нарисовать движением руки, не останавливаясь и нигде не перепрыгивая. И еще мы знаем, что линия симметрична. Эта зеленая линия является изображением этого множества, обозначенного фигурными скобками. Оказывается, это парабола. Это геометрическое определение для параболы. И здесь начинаются проблемы.

Примеры

  • Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.
  • Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
  • Парабола есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).
  • Биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла и лежащих внутри него.
  • Окружность есть геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Ещё одно определение — геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до двух данных точек постоянно и не равно 1 (иначе это серединный перпендикуляр), см. окружность Аполлония.

Формальное определение

В общем случае, геометрическое место точек формулируется параметрическим предикатом, аргументом которого является точка данного линейного пространства. Параметры предиката могут носить различный тип. Предикат называется детерминантом геометрического места точек. Параметры предиката называются дифференциалами геометрического места точек (не путать с дифференциалом в анализе).

Роль дифференциалов во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любым; дифференциалов может и вовсе не быть.

Если заданы детерминант , где  — точка,  — дифференциалы, то искомую фигуру задают в виде: « — геометрическое место точек , таких, что ». Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия применительно к данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек , для которых для каждого конкретного набора значений высказывание обращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задаётся через ГМТ.

В словесной формулировке предикативное высказывание озвучивают литературно, то есть с привлечением различного рода оборотов и т. д. с целью благозвучия. Иногда, в случае простых детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.

Пример: параболу зададим как множество всех таких точек , что расстояние от до точки равно расстоянию от до прямой . Тогда дифференциалы параболы — и ; детерминант — предикат , где  — расстояние между двумя точками (метрика),  — расстояние от точки до прямой. И говорят: «Парабола — геометрическое место точек , равноудалённых от точки и прямой . Точку называют фокусом параболы, а прямую  — директрисой».

Эта страница в последний раз была отредактирована 4 мая 2019 в 12:53.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).