En geometría, la esfera inscrita o insfera de un poliedro convexo es una esfera contenida en el poliedro y tangente a cada una de sus caras. Es la mayor esfera contenida íntegramente en el poliedro, y es dual a la circunsfera del poliedro dual.
El radio de la esfera inscrita en un poliedro P se llama inradio de P.
Interpretaciones
Todos los poliedros regulares tienen esferas inscritas, pero la mayoría de los poliedros irregulares no tienen todas las facetas tangentes a una esfera común, aunque todavía es posible definir la esfera contenida más grande para tales formas. Para tales casos, la noción de una insfera no parece haber sido definida correctamente y se encuentran varias interpretaciones de una insfera:
- La esfera tangente a todas las caras (si existe).
- La esfera tangente a todos los planos de las caras (si existe).
- La esfera tangente a un conjunto dado de caras (si existe).
- La esfera más grande que puede caber dentro del poliedro.
A menudo estas esferas coinciden, lo que lleva a confusión sobre qué propiedades definen exactamente la insfera para los poliedros en los que no coinciden.
Por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado regular tiene una esfera tangente a todas las caras, mientras que una esfera mayor puede caber dentro del poliedro. ¿Cuál es la insfera? Autoridades importantes como Coxeter[1] o Cundy & Rollett[2] tienen bastante claro que la esfera tangente a las caras es la insfera. De nuevo, estas autoridades están de acuerdo en que los poliedros arquimedianos (con caras regulares y vértices equivalentes) no tienen insferas, mientras que los poliedros duales arquimedianos o sólidos de Catalan sí tienen insferas. Pero muchos autores no respetan estas distinciones y asumen otras definiciones para las "esferas de inspiración" de sus poliedros.
Véase también
- Esfera circunscrita
- Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo
- Interesfera
- Empaquetamiento de esferas
- Sólidos de Catalan
Referencias
Bibliografía
- Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes 3rd Edn. Dover (1973).
- Cundy, H.M. and Rollett, A.P. Mathematical Models, 2nd Edn. OUP (1961).
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Insphere». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Esta página se editó por última vez el 9 oct 2023 a las 14:15.