Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное ) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины , при котором плотность вероятности есть
f
(
x
)
=
α
2
e
−
α
|
x
−
β
|
,
−
∞
<
x
<
+
∞
,
{\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{2}}\,e^{-\alpha |x-\beta |},\quad -\infty <x<+\infty ,}
где
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
— параметр масштаба,
−
∞
<
β
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <\beta <+\infty }
— параметр сдвига.
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
Просмотров: 41 019
66 941
26 287
9 349
2 822
Нормальный закон распределения. Функция Лапласа
Нормальное Распределение за 6 Минут
Локальная формула Муавра-Лапласа
Машинное обучение 2. Линейная регрессия
Modelling stock returns - the Laplace distribution (Excel) (SUB)
Содержание
Функция распределения
По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения:
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
=
α
2
∫
−
∞
x
e
−
α
|
t
−
β
|
d
t
.
{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-\alpha |t-\beta |}\,dt.}
Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:
F
(
x
)
=
{
1
2
e
α
(
x
−
β
)
,
x
⩽
β
,
1
−
1
2
e
−
α
(
x
−
β
)
,
x
>
β
.
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta ,\\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta .\end{cases}}}
Проверка свойств полученной функции:
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
не убывает, так как
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
положительна.
F
(
β
−
0
)
=
F
(
β
+
0
)
=
1
2
{\displaystyle F(\beta -0)=F(\beta +0)={\frac {1}{2}}}
, следовательно,
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
непрерывна в точке
β
{\displaystyle \beta }
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
ограничена.
Пределы на бесконечностях:
lim
x
→
−
∞
F
(
x
)
=
1
2
lim
x
→
−
∞
e
−
α
|
x
−
β
|
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)={\frac {1}{2}}\lim _{x\to -\infty }e^{-\alpha |x-\beta |}=0,}
lim
x
→
+
∞
F
(
x
)
=
1
−
1
2
lim
x
→
+
∞
e
−
α
(
x
−
β
)
=
1.
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1-{\frac {1}{2}}\lim _{x\to +\infty }e^{-\alpha (x-\beta )}=1.}
В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал
(
−
∞
,
+
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
при вычислениях необходимо разбить на
(
−
∞
,
β
)
{\displaystyle (-\infty ,\beta )}
и
[
β
,
+
∞
)
{\displaystyle [\beta ,+\infty )}
. Интегралы берутся по частям , при подстановке бесконечностей (
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
) рассматриваются пределы вида
lim
x
→
±
∞
r
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }r(x)}
. В результате
E
ξ
=
∫
−
∞
+
∞
x
f
(
x
)
d
x
=
β
{\displaystyle \operatorname {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=\beta }
E
ξ
2
=
∫
−
∞
+
∞
x
2
f
(
x
)
d
x
=
β
2
+
2
α
2
{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}}
D
ξ
=
E
ξ
2
−
(
E
ξ
)
2
=
β
2
+
2
α
2
−
β
2
=
2
α
2
{\displaystyle \operatorname {D} \xi =\operatorname {E} \xi ^{2}-(\operatorname {E} \xi )^{2}=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}-\beta ^{2}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}}
E
ξ
k
=
∫
−
∞
+
∞
x
k
f
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
0
⌊
k
/
2
⌋
β
k
−
2
i
α
2
i
k
!
(
k
−
2
i
)
!
{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx=\sum _{i=0}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)!}}}
,
где
⌊
s
⌋
{\displaystyle \left\lfloor s\right\rfloor }
— целая часть s.
детали расчёта
E
ξ
k
=
∫
−
∞
+
∞
x
k
f
(
x
)
d
x
=
α
2
∫
−
∞
β
x
k
e
α
(
x
−
β
)
d
x
+
α
2
∫
β
+
∞
x
k
e
−
α
(
x
−
β
)
d
x
{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx}
Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:
∫
x
k
e
α
(
x
−
β
)
d
x
=
1
α
x
k
e
α
(
x
−
β
)
−
k
α
2
x
k
−
1
e
α
(
x
−
β
)
+
k
(
k
−
1
)
α
3
x
k
−
2
e
α
(
x
−
β
)
−
{\displaystyle \int x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}x^{k-1}e^{\alpha (x-\beta )}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}x^{k-2}e^{\alpha (x-\beta )}-}
…
+
(
−
1
)
k
−
1
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
x
e
α
(
x
−
β
)
+
(
−
1
)
k
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
+
1
e
α
(
x
−
β
)
{\displaystyle \ldots +(-1)^{k-1}{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}xe^{\alpha (x-\beta )}+(-1)^{k}{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}e^{\alpha (x-\beta )}}
∫
x
k
e
−
α
(
x
−
β
)
d
x
=
−
1
α
x
k
e
−
α
(
x
−
β
)
−
k
α
2
x
k
−
1
e
−
α
(
x
−
β
)
−
k
(
k
−
1
)
α
3
x
k
−
2
e
−
α
(
x
−
β
)
−
{\displaystyle \int x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=-{\frac {1}{\alpha }}x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}x^{k-1}e^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}x^{k-2}e^{-\alpha (x-\beta )}-}
…
−
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
x
e
−
α
(
x
−
β
)
−
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
+
1
e
−
α
(
x
−
β
)
{\displaystyle \ldots -{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}xe^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}e^{-\alpha (x-\beta )}}
После подстановок пределов интегрирования:
∫
−
∞
β
x
k
e
α
(
x
−
β
)
d
x
=
1
α
β
k
−
k
α
2
β
k
−
1
+
k
(
k
−
1
)
α
3
β
k
−
2
−
{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}\beta ^{k}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-1}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}\beta ^{k-2}-}
…
+
(
−
1
)
k
−
1
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
β
+
(
−
1
)
k
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
+
1
{\displaystyle \ldots +(-1)^{k-1}{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}\beta +(-1)^{k}{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}}
∫
β
+
∞
x
k
e
−
α
(
x
−
β
)
d
x
=
1
α
β
k
+
k
α
2
β
k
−
1
+
k
(
k
−
1
)
α
3
β
k
−
2
+
…
+
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
β
+
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
+
1
{\displaystyle \int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}\beta ^{k}+{\frac {k}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-1}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}\beta +{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}}
Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:
E
ξ
k
=
{
β
k
+
k
(
k
−
1
)
α
2
β
k
−
2
+
…
+
k
(
k
−
1
)
⋯
2
⋅
1
α
k
,
k
=
2
n
β
k
+
k
(
k
−
1
)
α
2
β
k
−
2
+
…
+
k
(
k
−
1
)
⋯
3
⋅
2
α
k
−
1
β
,
k
=
2
n
+
1
{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}={\begin{cases}\beta ^{k}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k}}},&k=2n\\\beta ^{k}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k-1}}}\beta ,&k=2n+1\end{cases}}}
Или, в общем виде:
E
ξ
k
=
∑
i
=
0
⌊
k
/
2
⌋
β
k
−
2
i
α
2
i
k
!
(
k
−
2
i
)
!
{\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}=\sum _{i=0}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)!}}}
, где
⌊
s
⌋
{\displaystyle \left\lfloor s\right\rfloor }
— целая часть s.
ϕ
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
e
i
t
x
f
(
x
)
d
x
=
α
2
e
i
t
β
α
2
+
t
2
{\displaystyle \phi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx={\frac {\alpha ^{2}e^{it\beta }}{\alpha ^{2}+t^{2}}}}
Применение
Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов, экономике и финансах. Распределение можно применить:
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии
Дискретные Абсолютно непрерывные
Эта страница в последний раз была отредактирована 6 октября 2023 в 15:42.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.