Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Рассмотрим функции и , определённые на промежутке , , и имеющую в точке особенность (первого или второго рода). Пусть выполнены условия:
интеграл с верхним переменным пределом определён для всех и ограничен на ;
функция монотонна на и .
Тогда сходится.
Доказательство
Рассмотрим интеграл для некоторых (не ограничивая общности будем считать ). Так как монотонна на , она на нём интегрируема, а значит, и интегрируема на как произведение интегрируемых функций.
— интегрируема, — монотонна. Условия второй теоремы о среднем выполнены и существует такая точка , что
.
Функция ограничена на , а значит, есть такой, что , . Тогда:
мотонно стремится к нулю, следовательно, она ограничена с одной стороны , а с другой . Тогда и
.
, что по определению означает
Тогда ( берём меньше или равно )
,
что есть не что иное, как критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
Признак можно сформулировать и для случая, если особенность в точке . Пусть , и определена на . В таком случае условия видоизменяются следующим образом:
интеграл с нижним переменным пределом определён для всех и ограничен на ;
монотонна на и .
Тогда сходится.
Необязательно также, что . Если , то и сходимость равносильна сходимости .
Если интеграл удовлетворяет условиям признака Дирихле, то для его остатка верна следующая оценка:
Здесь – произвольное число из промежутка, а — число, которым ограничен интеграл с верхним переменным пределом. При помощи этой оценки можно приближать значение несобственного интеграла собственным с любой наперёд заданной точностью.
Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.
Однако условие монотонности не является необходимым.
— сходится.
Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.
Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа
Определение (ряд Абелева типа)
Ряд , где и последовательность — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.
Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром
Пусть функция и определёны на множестве , , и допускается, что интеграл для каких-то точек имеет особенность в точке . Пусть выполнены условия:
интеграл с верхним переменным пределом определён для всех , и равномерно ограничен на ;
функция монотонна по на для каждого конкрентого и при .
Тогда сходится равномерно.
Доказательство
Доказательство почти идентично случаю интеграла без параметра. Фиксируем и далее рассматриваем функции и как функции одной переменной . Для них делаем всё то же, что и в доказательстве для интегралов без параметра, за исключением того, что берём одинаковый для всех (это возможно сделать по вполне ограниченности). Приходим к
.
— равномерно стремится к нулю. Запишем определение равномерной сходимости:
Тогда
.
Пришли к критерию Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром.