Числа Лейланда — это натуральные числа, представимые в виде xy + yx, где x и y — целые числа больше 1[1]. Иногда 3 также относят к числам Лейланда[2].
Первые несколько чисел Лейланда[2]:
Требование, что x и y должны быть больше чем 1, имеет ключевое значение, поскольку без него каждое натуральное число будет представимо в виде x1 + 1x. Кроме того, благодаря коммутативности сложения, обычно добавляют условие x ≥ y, чтобы избежать двойного покрытия чисел Лейланда. Таким образом область определения x и y определяется неравенством 1 < y ≤ x.
Простые числа Лейланда
Первые несколько простых чисел Лейланда[3][4]:
- 17 = 32 + 23,
- 593 = 92 + 29,
- 32 993 = 152 + 215,
- 2 097 593 = 212 + 221,
- 8 589 935 681 = 332 + 233,
- 59 604 644 783 353 250 = 245 + 524, …
На июнь 2008 года, крупнейшим известным простым числом Лейланда являлось число
- 26384405 + 44052638
с 15 071 цифрой[5], простота которого была доказана в 2004 году с помощью алгоритма fastECPP[6].
После этого были найдены ещё большие простые числа Лейланда, например, 51226753 + 67535122 (25050 десятичных знаков)[7]. В декабре 2012 года было доказано, что числа 311063 + 633110 (5596 десятичных знаков) и 86562929 + 29298656 (30008 десятичных знаков) также являются простыми. Последнее из этих чисел содержит рекордное число десятичных знаков на настоящий момент[8]. Существуют кандидаты в простые, например, 3147389 + 9314738[9], однако их простота пока не доказана.
Применение
Числа вида оказались удачными тестовыми примерами для универсальных алгоритмов разложения на множители из-за своего простого алгебраического описания и отсутствия очевидных свойств, которые бы позволили применить какой-либо специальный алгоритм факторизации[4][6].
Примечания
- ↑ Prime Numbers: A Computational Perspective, 2005.
- ↑ 1 2 Последовательность A076980 в OEIS
- ↑ Последовательность A094133 в OEIS
- ↑ 1 2 Primes and Strong Pseudoprimes of the form xy + yx. Paul Leyland. Дата обращения: 14 января 2007. Архивировано из оригинала 10 февраля 2007 года.
- ↑ Elliptic Curve Primality Proof. Chris Caldwell. Дата обращения: 24 июня 2008. Архивировано из оригинала 10 декабря 2008 года.
- ↑ 1 2 Prime Numbers: A Computational Perspective, 2005, p. 4.
- ↑ Elliptic Curve Primality Proof. Chris Caldwell. Дата обращения: 3 апреля 2011. Архивировано 10 декабря 2008 года.
- ↑ Mihailescu's CIDE. mersenneforum.org (11 декабря 2012). Дата обращения: 26 декабря 2012. Архивировано 20 марта 2018 года.
- ↑ Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP Top Records search Архивная копия от 8 августа 2020 на Wayback Machine
Литература
- Richard Crandall, Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective. — Springer Science & Business Media, 2005. — 597 p. — ISBN 0-387-25282-7. — ISBN 978-0-387-25282-7.
Эта страница в последний раз была отредактирована 31 декабря 2023 в 18:55.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.