Растяжение — операция над многогранником (в любой размерности, не только в трёхмерном пространстве), при которой фасеты отделяются и передвигаются радиально в направлении от центра, новые фасеты образуются на разделённых элементах (вершинах, рёбрах и т.д.). Эти же операции можно понимать как операции, сохраняющие фасеты на месте, но уменьшающие их в размерах.
Под политопом понимается многомерный многогранник и далее в статье эти понятия употребляются как синонимы (слово «многомерный» может быть опущено, если оно предполагается по смыслу)[1].
Растяжение правильного многомерного многогранника образует однородный политоп, но операция может быть применена к любому выпуклому политопу, как продемонстрировано для многогранников в статье «Нотация Конвея для многогранников». В случае трёхмерных многогранников растянутый многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани двойственного многогранника и дополнительные квадратные грани на месте исходных рёбер.
Растяжение правильных политопов
Согласно Коксетеру, это термин для многомерных тел был определён Алишией Буль Стотт[2] для создания новых многомерных многогранников. Точнее, для создания однородных многомерных многогранников из правильных многомерных многогранников.
Операция растяжения симметрична для правильных политопов и им двойственных многогранников. Получающееся тело содержит фасеты как правильного многогранника, так и двойственного ему многогранника, а также дополнительные призматические фасеты, заполняющие пространство между элементами меньшей размерности.
Растяжение до некоторой степени имеет различное значение для разных размерностей. В построении Витхоффа растяжение генерируется отражением от первого и последнего зеркала. В более высоких размерностях растяжение может быть записано с помощью (нижнего) индекса, так что e2 — это то же самое, что и t0,2 в любой размерности.
Замечание: Названия операций над многогранниками в русскоязычной литературе не устоялись, так что ниже даны английские названия с переводом.
По размерностям:
- Правильный {p} многоугольник растягивается в правильный 2p-угольник.
- Для многоугольников операция идентична операции усечения, e{p} = e1{p} = t0,1{p} = t{p} и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина
.
- Для многоугольников операция идентична операции усечения, e{p} = e1{p} = t0,1{p} = t{p} и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина
- Правильный {p,q} многогранник (3-мерный политоп) растягивается в многогранник с вершинную фигуру p.4.q.4.
- Для многогранников эта операция носит название «cantellation» (скашивание), e{p,q} = e2{p,q} = t0,2{p,q} = rr{p,q}, и операция имеет диаграмму Коксетера
.
- Например, ромбокубооктаэдр может быть назван растянутым кубом, растянутым октаэдром, а также скошенным кубом или скошенным октаэдром.
- Для многогранников эта операция носит название «cantellation» (скашивание), e{p,q} = e2{p,q} = t0,2{p,q} = rr{p,q}, и операция имеет диаграмму Коксетера
- Правильный {p,q,r} четырёхмерный многогранник (4-политоп) растягивается в новый 4-мерный политоп с теми же {p,q} ячейками, новые ячейки {r,q} образуются на месте старых вершин, p-угольные призмы образуются на месте старых (2-мерных) граней и r-угольные призмы на месте старых рёбер.
- Для 4-мерных многогранников эта операция носит название «runcination» (обстругивание), e{p,q,r} = e3{p,q,r} = t0,3{p,q,r}, и операция имеет диаграмму Коксетера
.
- Для 4-мерных многогранников эта операция носит название «runcination» (обстругивание), e{p,q,r} = e3{p,q,r} = t0,3{p,q,r}, и операция имеет диаграмму Коксетера
- Подобным же образом правильный {p,q,r,s} пятимерный многогранник растягивается в новый 5-мерный политоп с фасетами {p,q,r}, {s,r,q}, призмами {p,q}×{ }, призмами {s,r}×{ } и дуопризмами {p}×{s}.
- Операция называется «sterication» (обрубание), e{p,q,r,s} = e4{p,q,r,s} = t0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} и операция имеет диаграмму Коксетера
.
- Операция называется «sterication» (обрубание), e{p,q,r,s} = e4{p,q,r,s} = t0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} и операция имеет диаграмму Коксетера
Общая операция растяжения правильного n-мерного многогранника — t0,n-1{p,q,r,...}. Новые правильные фасеты добавляются на место каждой вершины и новые призматические политопы добавляются для каждого разделённого ребра, (двумерной) грани и т.д..
См. также
Примечания
- ↑ В русскоязычной литературе под правильными политопами (многогранниками размерности > 3) и многогранниками обычно понимают выпуклые тела, в англоязычной литературе звёздчатые правильные многогранники тоже считаются правильными политопами (многогранниками)
- ↑ Coxeter, 1973, с. 123,210.
Литература
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — third edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.. Первое издание: Methuen & Co. Ltd., London, 1948
- Weisstein, Eric W. Expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Norman Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (рукопись).
- N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
| Основа | Усечение | Полное усечение | Глубокое усечение | Двойствен- ность |
Растяжение | Всеусечение | Альтернация | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| t0{p, q} {p, q} |
t<sub>01</sub>{p,q} t{p, q} |
t1{p,q} r{p, q} |
t<sub>12</sub>{p,q} 2t{p, q} |
t2{p, q} 2r{p, q} |
t<sub>02</sub>{p,q} rr{p, q} |
t<sub>012</sub>{p,q} tr{p, q} |
ht<sub>0</sub>{p,q} h{q, p} |
ht12{p,q} s{q, p} |
ht012{p,q} sr{p, q} |
Эта страница в последний раз была отредактирована 28 января 2020 в 01:50.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.