Псевдоредуктивная группа

Псевдоредуктивная группа над полем k (иногда называемая k-редуктивной группой) — это гладкая связная аффинная алгебраическая группа, определённая над k, k-унипотентный радикал которой (т.е. наибольшая гладкая связная унипотентная нормальная k-подгруппа) тривиальна. Над совершенным полем псевдоредуктивные группы — это то же самое, что (связные) редуктивные группы, но над несовершенными полями Жак Титс нашёл несколько примеров псевдоредуктивных групп, не являющихся редуктивными. Псевдоредуктивная k-группа не обязательно редуктивна (поскольку k-унипотентный радикал в общем случае не коммутирует с несепарабельным скалярным расширением на k, таким как скалярное расширение до алгебраического замыкания поля k). Псевдоредуктивные группы возникают естественным образом при изучении алгебраических групп над полями функций на многообразиях с положительной размерностью, имеющих положительную характеристику (даже над совершенным полем констант).

Шпрингер^[1] дал объяснение результатов Титса на псевдоредуктивных группах, а Конрад, Габбер и Прасад^[2] использовали труд Титса для развития теории общей структуры, включая более продвинутые области, такие как техники построения, системы корней, группы корней и открытые ячейки, теоремы классификации и приложения к теоремам рациональной смежности для гладких связных аффинных групп над произвольными полями. Общая теория (с приложениями) на 2010 год суммирована в статье Реми^[3], и позднее во втором издании книги Конрада, Габбера и Прасада^[4], а в книге Конрада и Прасада^[5] приведены дальнейшие улучшения.

Примеры нередуктивных псевдоредуктивных групп

Предположим, что k является несовершенным полем характеристики 2, а a является элементом поля k, не являющимся квадратом. Пусть G — группа ненулевых элементов x + y√a в k[√a]. Существует морфизм из G в мультипликативную группу G_m, переводящая x + y√a в норму x² – ay², ядром же является подгруппа элементов с нормой 1. Лежащая в основе приведённая схема геометрического ядра изоморфна аддитивной группе G_a и является унипотентным радикалом геометрического слоя группы G, но эта приведённая схема подгруппы геометрического слоя не определена над k (то есть она не появляется из замкнутой подсхемы группы G над базисным полем k) и k-унипотентный радикал группы G тривиален. Таким образом, G является псевдоредуктивной k-группой, но не редуктивной k-группой. Похожее построение работает при использовании примитивного нетривиального чисто несепарабельного конечного расширения любого несовершенного поля с любой положительной характеристикой, с единственной разницей, что формула для нормы отображения несколько более сложна по сравнению с предыдущими квадратичными примерами.

Более обще, если K является нетривиальным чистым несепарабельным расширением поля k и G является любой нетривиальной связной редуктивной K-группой, то сужение Вейля^[en] H=R_K/k(G) является гладкой связной аффинной k-группой, для которой имеется (cюръективный) гомоморфизм из H_K в G. Ядро этого K-гомоморфизма снижает унипотентный радикал геометрического слоя группы H и не определено над k (то есть не получается из схемы замкнутой подгруппы группы H), так что R_K/k(G) является псевдоредуктивной, но не редуктивной. Предыдущий пример является специальным случаем, использующим мультипликативную группу и расширение K=k[√a].

Классификация и экзотические проявления

Над полем с характеристикой, большей 3, все псевдоредуктивные группы могут быть получены из редуктивных групп путём «стандартного построения», обобщающего построение, описанное выше. Стандартное построение использует вспомогательную коммутативную псевдоредуктивную группу, которая оказывается подгруппой Картана^[en] результата построения, а главная сложность для общей псевдоредуктивной группы заключается в том, что структура подгрупп Картана (которые всегда коммутативны и псевдоредуктивны) таинственна. Коммутативные псевдоредуктивные группы не попадают ни под какую классификацию (в отличие от связного редуктивного случая, для которого они являются торами, а потому доступны через решётки Галуа), имеют полезное описание ситуации вне характеристик 2 и 3 в терминах редуктивных групп над некоторым конечным (возможно, несепарабельным) расширением базисного поля.

Над несовершенным полем с характеристиками 2 или 3 имеется несколько дополнительных псевдоредуктивных групп (называемых экзотическими) получающихся из исключительных изогений между группами типов B и C в характеристике 2, между группами типа ${\displaystyle F_{4}}$ в характеристике 2 и между группами типа G₂ в характеристике 3, используя конструкцию, аналогичную конструкции групп Ри. Более того, для характеристики 2 есть дополнительные возможности, возникающие не из исключительных изогений, а из факта, что для односвязных групп типа C (т.е. симплектических групп) имеются корни, делящиеся (на 2) в весовой решётке. Отсюда возникают примеры, система корней которых (над сепарабельным замыканием базисного поля) нередуцируема. Такие примеры существуют с расщепимым максимальным тором и неприводимой нередуктивной системой корней любого положительного ранга над любым несовершенным полем характеристики 2. Классификация в характеристике 3 полная, как и для бо́льших характеристик, но для характеристики 2 классификация наиболее полна для случая [k:k^2]=2 (вследствие трудностей, вызванных как примерами с неприводимой системой корней, так и явлениями, связанными с определёнными регулярными вырожденными квадратичными формами, которые существуют только для [k:k^2]>2). Последующая работа Конрада и Прасада^[5], основанная на дополнительном материале, включённом во второе издание книги Конрада, Габбера и Прасада^[4], завершает классификацию для характеристики 2 с точностью до контролируемого центрального расширения путём приведения исчерпывающего массива дополнительных конструкций, которые существуют только при [k:k^2]>2, в конечном счёте базирующихся на понятии специальных ортогональных групп, пристроенных к регулярным, но вырожденным и не полностью дефектным квадратичным пространствам характеристики 2.

Примечания

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 12 октября 2021 в 20:41.