Отображение удвоения

В теории динамических систем отображение удвоения окружности — отображение ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1}$ окружности ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ в себя, являющееся одним из базовых примеров отображений с хаотической динамикой.

Свойства

• Отображение удвоения — необратимое и является накрытием степени 2.
• Отображение удвоения является растягивающим.
• Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности сопряжено отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.
• Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения структурно устойчиво.
• Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным накрытием, полусопряжена отображению удвоения.
• Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение зуб пилы: ${\displaystyle f(x)=\{2x\}}$, где ${\displaystyle \{\cdot \}}$ — дробная часть.
• Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения ${\displaystyle S^{1}=[0,1/2[\cup [1/2,1[}$, сопрягает отображение удвоения со сдвигом Бернулли, при этом мере Лебега соответствует мера Бернулли с весами (1/2,1/2).
• Энтропия отображения удвоения равна логарифму двух.

Литература

Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.

Эта страница в последний раз была отредактирована 19 июня 2018 в 22:48.