Определитель Вандермонда

Индукция по размеру матрицы ${\displaystyle m}$.

База индукции

${\displaystyle m=2}$. В данном случае матрица представляет собой

${\displaystyle V_{2}={\begin{bmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

Очевидно, её определитель равен ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$.

Индукционное предположение

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{m-2}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{m-2}\\.&.&.&.&.\\1&x_{m-1}&x_{m-1}^{2}&\dots &x_{m-1}^{m-2}\\\end{vmatrix}}=\prod \limits _{1\leqslant i<j\leqslant m-1}(x_{j}-x_{i})}$

Индукционный переход

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{m-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{m-1}\\.&.&.&.&.\\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{m-1}\\\end{vmatrix}}}$

Вычтем из последнего столбца предпоследний, умноженный на ${\displaystyle x_{1}}$, из ${\displaystyle m-2}$-го — ${\displaystyle m-3}$-й, умноженный на ${\displaystyle x_{1}}$, из ${\displaystyle i}$-го — ${\displaystyle i-1}$-й, умноженный на ${\displaystyle x_{1}}$ и так далее для всех столбцов. Эти преобразования не меняют определитель матрицы. Получим

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&0&0&\dots &0\\1&x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\dots &x_{2}^{m-2}(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.&.\\1&x_{m}-x_{1}&x_{m}(x_{m}-x_{1})&\dots &x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_{1})\\\end{vmatrix}}}$

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем, что он равен следующему определителю:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&x_{2}(x_{2}-x_{1})&\dots &x_{2}^{m-2}(x_{2}-x_{1})\\.&.&.&.\\x_{m}-x_{1}&x_{m}(x_{m}-x_{1})&\dots &x_{m}^{m-2}(x_{m}-x_{1})\\\end{vmatrix}}}$

Для всех ${\displaystyle i}$ от 1 до ${\displaystyle m-1}$ вынесем из ${\displaystyle i}$-й строки множитель ${\displaystyle x_{i+1}-x_{1}}$. Получим

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{m}-x_{1}){\begin{vmatrix}1&x_{2}&\dots &x_{2}^{m-2}\\.&.&.&.\\1&x_{m}&\dots &x_{m}^{m-2}\\\end{vmatrix}}}$

Подставим значение имеющегося в предыдущей формуле определителя, известного из индукционного предположения:

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})\dots (x_{m}-x_{1})\prod \limits _{2\leqslant i<j\leqslant m}(x_{j}-x_{i})=\prod \limits _{1\leqslant i<j\leqslant m}(x_{j}-x_{i})}$

■

Другое доказательство можно получить, если считать, что ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ являются переменными в кольце многочленов ${\displaystyle {\mathbb {C} }[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$. В этом случае определитель Вандермонда — это многочлен ${\displaystyle V}$ от ${\displaystyle n}$ переменных. Он состоит из одночленов, степень каждого из которых равна ${\displaystyle 0+1+\ldots +(n-1)={\frac {n(n-1)}{2}}}$. Значит, степень ${\displaystyle V}$ равна тому же числу.

Заметим, что если какие-то ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}}$ совпадают, то определитель равен нулю, поскольку в матрице появляются две одинаковые строки. Поэтому определитель как многочлен должен делиться на ${\displaystyle (x_{i}-x_{j})}$. Всего различных пар ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}}$ (при ${\displaystyle i>j}$) существует ${\displaystyle 0+1+\ldots +(n-1)}$, что равно степени ${\displaystyle V}$. Иными словами, ${\displaystyle V}$ делится на ${\displaystyle \deg V}$ различных многочленов степени ${\displaystyle 1}$. Значит, он равен их произведению с точностью до константы. Но, как можно убедиться, раскрыв скобки, константа равна единице^[9]. ■