Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Односторонняя функция сжатия в криптографии — функция, которая образует значение длиной на выходе при задании двух входных значений длиной [1]. Одностороннее преобразование означает, что легко вычислить значение хеш-функции по прообразу, но трудно создать прообраз, значение хеш-функции которого равно заданной величине[2][3].
Односторонние функции сжатия часто построены из блочных шифров. Для того, чтобы превратить любой стандартный блочный шифр в одностороннюю функцию сжатия существуют схемы Дэвиса — Мейера, Матиса — Мейера — Осеаса, Миагути — Пренеля (функции сжатия одноблочной длины)[4].
Энциклопедичный YouTube
1/5
Просмотров:
9 367
7 990
2 871
8 694
7 351
Непрерывные функции
Доказательство lim(sinx)/x=1
Теоремы о пределах. Тема
Определение предела на языке эпсилон-дельта 2
Пределы. Примеры (часть 2)
Субтитры
Здравствуйте!
На этом уроке мы поговорим о непрерывности функций.
Запишем: непрерывность.
Непрерывные функции очень легко распознать.
Но давайте еще поговорим о том, как их определить.
Проведем оси.
Это ось У, а это ось Х.
И, предположим, у нас есть вот такой график функции.
Если я, допустим, спрошу у вас, непрерывна ли наша функция вот в этом интервале,
то вы ответите: «Конечно же, нет, эта функция не является непрерывной».
Обратите внимание, в этой точке график функции разрывается, как будто делает скачок.
Следовательно, эта функция не является непрерывной.
Эта функция разрывная. А эта точка - точка разрыва.
Запишем: точка разрыва. Эта функция не является непрерывной.
Ну, это в принципе, очевидно. Рассмотрим еще одну функцию.
Проводим оси. Это У, а это Х.
И, допустим, функция выглядит вот так.
И еще функция определена в этой точке.
Является ли эта функция непрерывной на интервале, который я изобразила?
Нет, конечно.
Поскольку в этой точке функция совершает скачок в эту точку.
Это тоже точка разрыва, но в данном случае точка устранимого разрыва.
Почему эта точка так называется?
Потому что, если мы перенесем эту точку вот сюда,
то в результате получится функция непрерывная в данной точке.
Мы как бы устраняем разрыв.
Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной,
что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
Давайте построим график еще одной функции.
Это ось Х, а это ось У. Является ли эта функция непрерывной?
Да, похоже на то. Нет никаких скачков, никаких точек разрыва.
Перед нами сплошная линия. Эта функция непрерывная.
Все это, я уверена, вы понимаете. Это очевидно.
Но я хотела также привести еще одно не такое уж и простое
определение непрерывности функции через предел.
Мы уже ознакомились с определением предела, с "эпсилон-дэльта"–определением предела.
С его помощью мы можем доказать существование предела.
А сейчас, исходя из этого определения, мы попробуем дать понятие непрерывности.
Рассмотрим функцию в каком-то конкретном интервале.
Рисуем еще одну координатную плоскость.
По сравнению с тем, как мы только что разбирали непрерывность,
определение покажется вам непонятным и очень сложным.
Мы будем рассматривать этот интервал.
Это ось Х, а это ось У. Нарисуем график функции в этом промежутке.
Предположим, вот так он выглядит.
Мы говорим, что функция непрерывна во "внутренней" точке
(под "внутренней" я имею в виду точку, находящуюся внутри интервала, а не граничную).
Допустим, это и есть "внутренняя" точка.
Граничные точки – это эта точка и эта.
Выражение «функция непрерывна во "внутренней" точке» означает,
что предел… давайте допишем здесь: в точке с.
И здесь отметим с.
Значит, функция непрерывна в точке с, если предел этой функции
(это функция f(x)) при х, стремящемся к с
равен значению функции в этой точке, то есть f(c).
И это логично.
Если это наша точка с, х=с, то предел при х, стремящемся к с,
на самом деле будет равен значению функции в этой точке.
С этим нельзя не согласиться.
Давайте посмотрим, а попадают ли под это определение эти две функции.
В этой точке, допустим, х=с.
Соответствующее значение f(c) будет вот здесь.
Это f(c). Тот ли это случай, когда предел функции f(x) при х,
стремящемся к с, равен значению функции f(c)?
Если мы возьмем предел функции при х, стремящемся к с справа,
то похоже на то, что он на самом деле равен значению функции в этой точке.
Этот предел действительно равен f(c).
Но это не будет равно пределу функции при х, стремящемся к с слева.
Если х будет стремиться к с слева, то предел не будет равен значению функции.
Это условие не выполняется.
Чтобы предел функции при х, стремящемся к с, был равен значению функции,
оба односторонних предела должны быть равны этому значению.
В нашем случае этого не произошло.
Таким образом, исходя из определения непрерывности функции,
эта функция непрерывной не является.
И это очень хорошо, так как ранее мы сказали, что это разрывная функция.
А что можно сказать об этой функции?
Здесь кружок должен быть пустым.
Будет ли в этом случае предел равен значению функции? Это у нас с.
Итак, предел f(x) при х, стремящемся к с. И пусть он равен L.
Это мы уже делали неоднократно. Значит, здесь у нас L.
Теперь посмотрите внимательно. Очевидно, что L не равно f(c).
Вот здесь у нас f(c). Эта функция также не попадает под определение.
Предел функции f(x) при х, стремящемся к с, не равен L.
Следовательно, эта функция не является непрерывной, она разрывная.
Эта же функция должна удовлетворять условию непрерывности.
Предел этой функции при х, стремящемся к с,
на самом деле равен значению функции в точке с.
Теперь давайте рассмотрим определение непрерывности для граничных точек.
Это было определение для внутренних точек.
Итак, функция непрерывна в граничной точке,
или лучше написать в левой конечной точке с...
Что имеется в виду под «левой конечной точкой»?
Сейчас я все объясню. Проводим оси. Это ось Х, а это ось У.
Отметим интервал.
Это левая конечная (граничная) точка, а это правая конечная точка.
И, предположим, функция в этом интервале выглядит так.
Левой конечной точкой будет точка х=с.
Мы говорим, что функция непрерывна в левой конечной точке с,
если предел функции f(x) при х, стремящемся к с… как вы понимаете,
этот предел будет односторонним, так как х не может стремиться к с слева,
х может стремиться к с только справа.
Итак, предел функции при х, стремящемся к с справа, будет равен f(c).
Но мы не можем применить это определение к граничным точкам,
поскольку двусторонний предел должен быть равен f(c),
а здесь в принципе не может быть двустороннего предела.
Но согласитесь, не сильно эти определения и отличаются.
И как видите, на рисунке у нас как раз тот случай,
когда предел функции при х, стремящемся к с справа,
равен значению функции в этой точке с, то есть f(c).
Следовательно, функция непрерывна в этой точке.
А сейчас рассмотрим функцию, которая не является непрерывной.
Давайте ее изобразим. Проводим оси. Вот это наш интервал.
Точка с будет точкой разрыва. Вот так мы ее изобразим.
Здесь пустой кружок. Точка с выступает точкой устранимого разрыва.
Как вы понимаете, под определение непрерывности в конечной точке эта функция не попадает.
При х, стремящемся к с, функция стремится к пределу L.
А значение функции f(c) вот здесь.
Значит, предел функции, при х, стремящемся к с справа,
не равен значению функции в этой точке.
Следовательно, функция не является непрерывной в данной точке.
Аналогично определение непрерывности функции и в правой конечной точке.
Функция непрерывна в правой конечной точке с, если…
Давайте сделаем рисунок. Это ось Х, а это ось У. Вот наш интервал.
Допустим, вот так выглядит функция. с – это правая конечная точка.
И мы говорим, что функция непрерывна в правой конечной точке с,
если предел функции f(x) при х, стремящемся к с…
х не может стремиться к с с обеих сторон, он может стремиться к с только слева.
Значит, функция непрерывна в точке с, если предел f(x) при х,
стремящемся к с слева, равен f(c). Если это условие выполняется,
то функция является непрерывной в конечной правой точке,
и наоборот, если функция непрерывна, то выполняется это условие.
И, соответственно, функция не является непрерывной в правой конечной точке,
если (вы можете себе это представить) в конечной точке функция не определена,
она совершает скачок в какую-то другую точку (рисунок вроде этого).
Как вы убедились, понятие непрерывности функции не очень-то и сложное.
Если у функции есть скачки, точки разрывов,
то она не является непрерывной, она разрывная.
Также мы рассмотрели определение непрерывности через предел.
Надеюсь, все было понятно! До скорых встреч!
Функции сжатия представляют собой функции, которые получают на вход строку переменной длины и преобразуют её в строку фиксированной, обычно меньшей, длины.
Например, если вход А имеет длину в 128 бит, вход B в 128 бит, и они сжаты вместе в один выход в 128 бит. Это то же самое, как если бы один-единственный 256-битовый вход сжимался вместе в один выход в 128 бит.
Некоторые функции сжатия имеют различный размер двух входов, но выход, как правило, имеет такой же размер, как и один из входов. Например, вход А может быть 256 бит, вход B 128 бит, и они сжаты вместе с одним выходом в 128 бит. То есть, в общей сложности 384 входных битов сжимаются вместе до 128 выходных битов.[5]
Таким образом, смешивание выполняется за счет достижения лавинного эффекта.То есть, каждый выходной бит зависит от каждого входного бита.[6]
Функция сжатия в одну сторону должна обладать следующими свойствами:
Стойкость к поиску первого прообраза — отсутствие эффективного полиномиального алгоритма вычисления обратной функции, то есть нельзя восстановить текст по известной его свертке за реальное время (необратимость). Это свойство эквивалентно тому, что хеш-функция является односторонней функцией.
Стойкость к поиску второго прообраза (коллизиям первого рода). Зная входное сообщение и его свёртку , вычислительно невозможно найти другой вход , чтобы .
Стойкость к коллизиям (коллизиям второго рода). Должно быть вычислительно невозможно подобрать пару сообщений и , что .[7]
Сведём задачу криптоанализа хеш-функций к задаче поиска коллизии: сколько сообщений надо просмотреть, чтобы найти сообщения с двумя одинаковыми хешами.
Вероятность встретить одинаковые хеши для сообщений из двух разных наборов, содержащих и текстов, равна . Если , то вероятность успеха атаки , а сложность проведения атаки операций.
Чтобы найти коллизию, надо сгенерировать два псевдослучайных множества сообщений (в каждом множестве сообщений) и найти для них хеши. Тогда, согласно парадоксу дней рождения (см. также атака «дней рождения»), вероятность того, что среди них найдется пара сообщений с одинаковыми хешами, больше 0,5. Атака требует большого объёма памяти для хранения текстов и эффективных методов сортировки.[8]
Структура Меркла — Дамгора, где IV — начальное значение свертки (фиксированный вектор), — функция сжатия.
Суть конструкции заключается в итеративном процессе последовательных преобразований, когда на вход каждой итерации поступает блок исходного текста и выход предыдущей итерации[9].
Наиболее широко используются хеш-функции, основанные на этой конструкции в MD5, SHA-1 и SHA-2.
Хеш-функция должна преобразовывать входное сообщение произвольной длины в выходное фиксированной длины. Это может быть достигнуто путём разбиения входного сообщения на ряд одинаковых по размеру блоков, и их последовательной обработки односторонней функцией сжатия. Функция сжатия может быть либо специально разработана для хеширования, либо представлять собой функцию блочного шифрования.
Атака нахождения второго прообраза (учитывая сообщение , злоумышленник находит ещё одно сообщение , чтобы удовлетворить ) может быть выполнена в соответствии с Килси и Шнайером, для сообщения из 2k блоков может быть выполнена за время k × 2n/2+1 + 2n-k+1. Важно отметить, если сообщения длинные, то сложность атаки находится между 2n/2 и 2n, а когда длина сообщения становится меньше, сложность приближается к 2n.[10]
Роль функции сжатия может осуществлять любой блочный шифр E. Данная идея легла в основу развития конструкции Меркла — Дамгора в схемах Дэвиса — Мейера, Матиса — Мейера — Осеаса, Миагути — Пренеля[11].
Структура Дэвиса — Мейера
Схема Дэвиса — Мейера
В данной схеме блок сообщения и предыдущее значение хеш-функции поступают в качестве ключа и блока открытого текста соответственно на вход блочного шифра . Получившийся в результате шифрования блок закрытого текста суммируется (операция XOR) с результатом предыдущей итерации хеширования () для получения следующего значения хеш-функции ().[11]
Если блочный шифр использует, например, 256-битный ключ, то каждый блок сообщений () представляет собой 256-битный фрагмент сообщения. Если же блочный шифр использует размер блока в 128 бит, то входные и выходные значения хеш-функции в каждом раунде составляют 128 бит.
Важным свойством конструкции Дэвиса — Мейера является то, что даже если базовый блок шифрования является полностью безопасным, можно вычислить неподвижные точки для построения: для любого можно найти значение такое что : просто нужно установить .[12]
Безопасность структуры Дэвиса — Мейера была впервые доказана Винтерницом[13].
Структура Матиса — Мейера — Осеаса
Схема Матиса-Мейера-Осеаса
Это версия схемы Девиса — Мейера: блоки сообщения применяются как ключи криптосистемы. Схема может быть использована, если блоки данных и ключ шифрования имеют один и тот же размер. Например, AES хорошо подходит для этой цели.
В данной конструкции блок сообщения и предыдущее значение хеш-функции поступают в качестве ключа и блока открытого текста соответственно на вход блочного шифра . Но уже значение подвергается предварительной обработке функцией из-за возможных различий в размерах хеш-суммы и размере ключа шифра . Эта функция реализует отображение n-битного значения хеш-
функции в k-битный ключ шифра . В результате применения операции шифрования, получается блок закрытого текста, который суммируется с соответствующим ему блоком открытого текста ().[14]
В математических обозначениях схему Матиса — Мейера — Осеаса можно записать как:
Схема Миагути — Пренеля — расширенная версия схемы Матиса — Мейера — Осеаса. Отличие в том, что блок закрытого текста суммируется не только с соответствующим ему блоком открытого текста (), но и с результатом предыдущей итерации хеширования (). Чтобы сделать алгоритм более устойчивым к атаке, исходный текст, ключ шифра и зашифрованный текст складываются с помощью операции XOR и создают новый дайджест. Эта схема используется в Whirlpool для создания хеш-функции. Результат суммирования определяется уравнением[15]: