Дифференциа́льное уравне́ние Ри́мана — обобщение гипергеометрического уравнения , позволяющее получить регулярные сингулярные точки (англ.) ( рус. в любой точке сферы Римана . Названо в честь математика Бернхарда Римана .
Энциклопедичный YouTube
1 / 3
Просмотров: 5 535
5 554
3 968
Дифференциальные уравнения Владимир Побережный
дифференциальное уравнение Эйлера
Комплексные дифференциальные уравнения — Владимир Побережный
Содержание
Определение
Дифференциальное уравнение Римана определяется как
d
2
w
d
z
2
+
[
1
−
α
−
α
′
z
−
a
+
1
−
β
−
β
′
z
−
b
+
1
−
γ
−
γ
′
z
−
c
]
d
w
d
z
{\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{z-a}}+{\frac {1-\beta -\beta '}{z-b}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{z-c}}\right]{\frac {dw}{dz}}}
+
[
α
α
′
(
a
−
b
)
(
a
−
c
)
z
−
a
+
β
β
′
(
b
−
c
)
(
b
−
a
)
z
−
b
+
γ
γ
′
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)
z
−
c
]
w
(
z
−
a
)
(
z
−
b
)
(
z
−
c
)
=
0.
{\displaystyle +\left[{\frac {\alpha \alpha '(a-b)(a-c)}{z-a}}+{\frac {\beta \beta '(b-c)(b-a)}{z-b}}+{\frac {\gamma \gamma '(c-a)(c-b)}{z-c}}\right]{\frac {w}{(z-a)(z-b)(z-c)}}=0.}
Его регулярными сингулярными точками будут a , b и c . Их степени
α
{\displaystyle \alpha }
и
α
′
{\displaystyle \alpha '}
,
β
{\displaystyle \beta }
и
β
′
{\displaystyle \beta '}
,
γ
{\displaystyle \gamma }
и
γ
′
{\displaystyle \gamma '}
соответственно. Они удовлетворяют условию
α
+
α
′
+
β
+
β
′
+
γ
+
γ
′
=
1.
{\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.}
Решения уравнения
Решения уравнения Римана записываются через P-символ Римана
w
=
P
{
a
b
c
α
β
γ
z
α
′
β
′
γ
′
}
{\displaystyle w=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}
Обычная гипергеометрическая функция может быть записана как
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
P
{
0
∞
1
0
a
0
z
1
−
c
b
c
−
a
−
b
}
{\displaystyle \;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-a-b&\;\end{matrix}}\right\}}
P-функции подчиняются ряду тождеств, одно из которых позволяет обобщить их в терминах гипергеометрических функций. А именно, выражение
P
{
a
b
c
α
β
γ
z
α
′
β
′
γ
′
}
=
(
z
−
a
z
−
b
)
α
(
z
−
c
z
−
b
)
γ
P
{
0
∞
1
0
α
+
β
+
γ
0
(
z
−
a
)
(
c
−
b
)
(
z
−
b
)
(
c
−
a
)
α
′
−
α
α
+
β
′
+
γ
γ
′
−
γ
}
{\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}}
позволяет записать решение уравнения в виде
w
=
(
z
−
a
z
−
b
)
α
(
z
−
c
z
−
b
)
γ
2
F
1
(
α
+
β
+
γ
,
α
+
β
′
+
γ
;
1
+
α
−
α
′
;
(
z
−
a
)
(
c
−
b
)
(
z
−
b
)
(
c
−
a
)
)
{\displaystyle w=\left({\frac {z-a}{z-b}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-c}{z-b}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(z-a)(c-b)}{(z-b)(c-a)}}\right)}
Преобразование Мёбиуса
P-функция обладает простой симметрией по отношению к преобразованию Мёбиуса , то есть по отношению к группе GL(2, C ) или, что эквивалентно, конформному отображению сферы Римана . Произвольно выбранные четыре комплексных числа A , B , C и D , удовлетворяющие условию
A
D
−
B
C
≠
0
{\displaystyle AD-BC\neq 0}
, определяют соотношения
u
=
A
z
+
B
C
z
+
D
and
η
=
A
a
+
B
C
a
+
D
{\displaystyle u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ and }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}}
и
ζ
=
A
b
+
B
C
b
+
D
and
θ
=
A
c
+
B
C
c
+
D
.
{\displaystyle \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ and }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.}
Тогда будет справедливым равенство
P
{
a
b
c
α
β
γ
z
α
′
β
′
γ
′
}
=
P
{
η
ζ
θ
α
β
γ
u
α
′
β
′
γ
′
}
{\displaystyle P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}}
Литература
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (Dover: New York, 1972)
Эта страница в последний раз была отредактирована 27 марта 2021 в 10:39.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.