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Alexander Grigorievskiy
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Topología usual

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En Topología (rama de las matemáticas) se emplean muchas topologías (colección de abiertos). Una de las fundamentales y más empleadas es la topología usual.

Es un resultado conocido del Análisis Matemático que todas las normas sobre son equivalentes, esto quiere decir que todas las métricas asociadas a normas de inducen a la misma topología (colección de abiertos), es decir, que todas las normas sobre dan lugar a los mismos abiertos. El conjunto de estos abiertos es una topología y se le conoce como topología usual.[1]

Puntualizar que esto no es extensible a cualquier métrica, sino a las asociadas a las normas. Concretamente se tiene que la topología usual sobre es la topología inducida por la distancia usual de forma que .

Al ser las bolas abiertas para esta distancia los intervalos abiertos y acotados, entonces, se da que en el espacio topológico los abiertos son las uniones arbitrarias de intervalos con .[2]

Hay un resultado importante respecto a la topología usual. Al inducir la topología usual sobre un conjunto finito se obtiene la topología discreta. Esto es la topología inducida con Y el conjunto de los números naturales ℕ.[3]

Convergencia

Las sucesiones convergentes en convergen a un único punto.

La demostración se basa en que, al ser inducida la topología usual por la distancia usual, , se tiene para todo par de puntos x,y de ( ) existen dos abiertos disjuntos (), luego es un espacio Hausdorff. Y se sabe que en un espacio Hausdorff toda sucesión converge a un único punto. Fin de la demostración.

Ejemplos

  1. Como se ha comentado antes en los abiertos son los intervalos y sus uniones.
  2. En se puede considerar la topología usual como la inducida por y en general por cualquier otra distancia asociada a una norma.
  3. Los abiertos son uniones de bolas abiertas.[4]

Véase también

Referencias

Esta página se editó por última vez el 22 mar 2022 a las 03:45.
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