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Espacio topológico

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Cuatro ejemplos de topologías y dos que no lo son, en el conjunto de tres puntos {1,2,3}.
El ejemplo inferior izquierdo no es una topología porque la unión {2} y {3}, igual a {2,3}, no es parte de la colección.
El ejemplo inferior derecho tampoco, porque la intersección de {1,2} y {2,3}, igual a {2}, no es parte de la colección.

Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad y vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado.[1]​ La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos se llama topología. Las variedades, al igual que los espacios métricos, son especializaciones de espacios topológicos con restricciones y estructuras propias.

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  • 1. Espacios topológicos: definición y ejemplo
  • ¿Qué es la TOPOLOGÍA? Donas, tazas y espacios topológicos.
  • Orientación espacial, aspectos topológicos y proyectivos | Didáctica de la Matemática en Ed.Infantil
  • Definición #TOPOLOGÍA i.e., "Espacios Topológicos"
  • BASE de un ESPACIO TOPOLÓGICO | #Topología

Transcription

Historia

Alrededor de 1735, Leonhard Euler descubrió la fórmula que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, y por lo tanto de un grafo plano. El estudio y generalización de esta fórmula, concretamente por parte de Cauchy (1789-1857) y L'Huilier (1750-1840), impulsó el estudio de topología. En 1827, Carl Friedrich Gauss publicó Investigaciones generales de superficies curvas, que en la sección 3 define la superficie curva de manera similar a la comprensión topológica moderna: "Se dice que una superficie curva posee curvatura continua en uno de sus puntos A, si la dirección de todas las líneas rectas trazadas desde A hasta puntos de la superficie a una distancia infinitamente pequeña de A se desvían infinitamente poco de un mismo plano que pasa por A."[2]

Sin embargo, "hasta el trabajo de Riemann a principios de la década de 1850, las superficies siempre se trataban desde un punto de vista local (como superficies paramétricas) y las cuestiones topológicas nunca se consideraban".[3]​ "Möbius y Jordan parecen ser los primeros en darse cuenta de que el principal problema de la topología de las superficies (compactas) es encontrar invariantes (preferiblemente numéricos) para decidir la equivalencia de las superficies, es decir, decidir si dos superficies son homeomorfos o no."[3]

El tema está claramente definido por Felix Klein en su "Programa de Erlangen" (1872): las invariantes geométricas de la transformación continua arbitraria, una especie de geometría. El término "topología" fue introducido por Johann Benedict Listing en 1847, aunque había usado el término en correspondencia algunos años antes en lugar de "Analysis situs" usado anteriormente. El fundamento de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creado por Henri Poincaré. Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894.[4]​ En la década de 1930, James Waddell Alexander II y Hassler Whitney expresaron por primera vez la idea de que una superficie es un espacio topológico que es localmente como un plano euclidiano.

Los espacios topológicos fueron definidos por primera vez por Felix Hausdorff en 1914 en su seminal "Principios de la teoría de conjuntos". Los espacios métricos habían sido definidos anteriormente en 1906 por Maurice Fréchet, aunque fue Hausdorff quien popularizó el término "espacio métrico" (en alemán: metrischer Raum).[5][6]

Definición

Formalmente, se llama espacio topológico al par ordenado (X,T) formado por un conjunto X y una topología T sobre X, es decir, una colección de subconjuntos de X que cumple las tres propiedades siguientes:

  1. El conjunto vacío y X están en T.
  2. La intersección de cualquier subcolección finita de conjuntos de T está en T.
  3. La unión de cualquier subcolección de conjuntos de T está en T.[7]
Esta condición también se escribe, formalmente:[8]

A los conjuntos pertenecientes a la topología T se les llama conjuntos abiertos o simplemente abiertos de (X,T);[9]​ y a sus complementos en X, conjuntos cerrados.

Definición mediante vecindades

Esta axiomatización se debe a Felix Hausdorff. Sea un conjunto; los elementos de suelen llamarse puntos, aunque pueden ser cualquier objeto matemático. Permitimos que esté vacío. Sea una función que asigna a cada (punto) en una colección no vacía de subconjuntos de Los elementos de se llamarán vecindades de con respecto a (o, simplemente, vecindades de ). La función se llama una neighbourhood topology si los axiomas siguientes[10]​ se satisfacen; y entonces con se llama un espacio topológico'.

  1. Si es una vecindad de (es decir, ), entonces En otras palabras, cada punto pertenece a cada una de sus vecindades.
  2. Si es un subconjunto de e incluye una vecindad de entonces es una vecindad de Es decir, cada superconjunto de una vecindad de un punto es de nuevo una vecindad de
  3. La intersección de dos vecindades de es una vecindad de
  4. Cualquier vecindad de incluye una vecindad de tal que es una vecindad de cada punto de

Los tres primeros axiomas de vecindad tienen un significado claro. El cuarto axioma tiene un uso muy importante en la estructura de la teoría, el de unir las vecindades de distintos puntos de

Un ejemplo estándar de tal sistema de vecindades es para la recta real donde se define que un subconjunto de es una vecindad de un número real si incluye un intervalo abierto que contenga a

Dada tal estructura, un subconjunto de se define como abierto si es una vecindad de todos los puntos de Los conjuntos abiertos satisfacen entonces los axiomas dados a continuación. A la inversa, dados los conjuntos abiertos de un espacio topológico, las vecindades que satisfacen los axiomas anteriores pueden recuperarse definiendo como vecindad de si incluye un conjunto abierto tal que [11]​.

Definición mediante conjuntos abiertos

Una topología sobre un set X puede definirse como una colección de subconjuntos de X, llamados conjuntos abiertos y que satisfacen los siguientes axiomas:[12]

  1. El conjunto vacío y mismo pertenecen a
  2. Cualquier unión arbitraria (finita o infinita) de miembros de pertenece a
  3. La intersección de cualquier número finito de miembros de pertenece a

Como esta definición de una topología es la más utilizada, el conjunto de los conjuntos abiertos se llama comúnmente una topología sobre

Se dice que un subconjunto es cerrado en si su complemento es un conjunto abierto.

Definición mediante conjuntos cerrados

Usando las leyes de Morgan, los axiomas anteriores que definen conjuntos abiertos se convierten en axiomas que definen  conjuntos cerrados':

  1. El conjunto vacío y son cerrados.
  2. La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es también cerrada.
  3. La unión de cualquier número finito de conjuntos cerrados también es cerrada.

Utilizando estos axiomas, otra forma de definir un espacio topológico es como un conjunto junto con una colección de subconjuntos cerrados de Así, los conjuntos de la topología son los conjuntos cerrados, y sus complementos en son los conjuntos abiertos.

Otras definiciones

Existen muchas otras formas equivalentes de definir un espacio topológico: en otras palabras, los conceptos de vecindad, o el de conjunto abierto o cerrado pueden reconstruirse a partir de otros puntos de partida y satisfacer los axiomas correctos.

Otra forma de definir un espacio topológico es utilizando los axiomas de cierre de Kuratowski, que definen los conjuntos cerrados como los puntos fijos de un operador sobre el conjunto potencia de

Una net es una generalización del concepto de  secuencia. Una topología está completamente determinada si para cada red en se especifica el conjunto de sus puntos de acumulación.

Ejemplos

  • La topología trivial o indiscreta: es la formada por y .
  • La topología discreta: es la formada por el conjunto de las partes de .
  • La topología de los complementos finitos: es la formada por y los conjuntos de , cuyos complementarios son finitos.
  • La topología de los complementos numerables: es la formada por y los conjuntos de , cuyos complementarios son numerables.
  • Dado un subconjunto , la colección de subconjuntos es una topología en X.
  • R, conjunto de los reales, y T el conjunto de los intervalos abiertos en el sentido usual, y de las reuniones (cualesquiera) de intervalos abiertos. En este caso un conjunto es abierto si para todo punto de él existe un intervalo abierto que contiene al punto y dicho intervalo abierto está totalmente contenido en el mencionado conjunto.[13]
  • Recta de Sorgenfrey: la recta real junto con la topología del límite inferior.
  • La topología de Sierpinski es la colección T = {∅, {0}, X} sobre X = {0,1} y el par (X,T) se llama espacio de Sierpinski.[14]
  • Una topología T sobre X, usando algunas partes de A, que es parte propia de X. El par (X,T) es un espacio topológico cuyos abiertos son ciertas partes de A y el conjunto X. Para este caso X = {a,b,c,d}; A ={a,b,c}; T = {∅,{a}, {a,b}, {a,b,c}, X} es una topología sobre X.[15]

Topología inducida por la métrica

En todo espacio métrico (X,d) se puede definir de manera natural una topología dada por la métrica del espacio. En esta topología, denominada topología métrica,[16]​ los conjuntos abiertos son uniones arbitrarias de bolas abiertas: la bola abierta de centro y radio es el conjunto de los puntos de X que están a una distancia d de estrictamente menor que

La topología métrica generaliza la noción usual de conjunto abierto en la recta real y en los espacios euclídeos de 2 o 3 dimensiones, permitiendo una aproximación de carácter local a la topología.

En vez de considerar todo el conjunto, el punto de vista local consiste en preguntarse: ¿qué relación tiene que haber entre un punto a cualquiera de A, y A para que A sea un abierto?

Si se considera el ejemplo más conocido, el de los intervalos, uno se da cuenta de que los intervalos abiertos son los que no contienen puntos en su frontera o borde, que son puntos en contacto a la vez con A y con su complementario R - A.

En otras palabras, un punto de un abierto no está directamente en contacto con el "exterior".

No estar en contacto significa intuitivamente que hay una cierta distancia entre el punto y el exterior; llamémosla d. Entonces la bola B (a, d/2), de radio d/2 y de centro a está incluida en A y no toca el complementario. En la figura, a está en el interior de A, mientras que b está en su frontera, porque cualquier vecindad de b encuentra R - A.

No todas las topologías provienen de una métrica: hay espacios que son metrizables y otros que no lo son. El Teorema de Nagata-Smírnov, entre otros, permite determinar si un espacio topológico es metrizable o no.[17]

La topología pretende abstraer conceptos familiares de los espacios métricos, pero sin hacer referencia a una distancia. Por ello, se sustituye el concepto de bola abierta por el, más general, de entorno o vecindad. Una vecindad de un punto x es este punto con algo de su alrededor. Existe cierta libertad para definir el significado de "alrededor" y "vecindad" con tal de satisfacer los axiomas siguientes:

  1. x pertenece a todas sus vecindades.
  2. Un conjunto que contiene una vecindad de x es una vecindad de x.
  3. La intersección de dos vecindades de x es también una vecindad de x.
  4. En toda vecindad V de x existe otra vecindad U de x tal que V es una vecindad de todos los puntos de U.

Llamamos abierto un conjunto que es una vecindad para todos sus puntos.

Los axiomas expuestos en el punto de vista global están verificados:

  1. E es obviamente una vecindad para todos sus puntos, y ∅ también porque no contiene punto. (Una propiedad universal: para todo x... es forzosamente cierta en el conjunto vacío.)
  2. Una unión de abiertos Oi es un superconjunto de cada Oi, y Oi es una vecindad de todos sus puntos, por lo tanto, la unión es una vecindad de todos sus puntos, gracias a la propiedad (2).
  3. Sea x un punto de la intersección de los abiertos O1 y O2. O1 y O2 son abiertos que contienen x y por lo tanto vecindades de él. Una intersección de vecindades de x es una vecindad de x (propiedad 3), lo que implica que O1 O2 es una vecindad de todos sus puntos, y por lo tanto un abierto.

Propiedades de un espacio topológico

Véase también

Referencias

  1. Kuratowski, 1973.
  2. Gauss, 1827.
  3. a b Gallier y Xu, 2013.
  4. J. Stillwell, Mathematics and its history
  5. "metric space". Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press. (Subscription or participating institution membership required.)
  6. Hausdorff, Felix (2011) [1914]. «Punktmengen in allgemeinen Räumen». Grundzüge der Mengenlehre. Göschens Lehrbücherei/Gruppe I: Reine und Angewandte Mathematik Serie (en alemán). Leipzig: Von Veit. p. 211. ISBN 9783110989854. Consultado el 20 de agosto de 2022. «Unter einem m e t r i s c h e n   R a u m e verstehen wir eine Menge E, [...]. » 
  7. Munkres, James R. TopologíaPearson Prentice Hall, Madrid 2002 ISBN 978-84-205-3180-9
  8. Para este caso y los axiomas anteriores, consultar en "Topología" de Munkres ISBN 978-84-205-3180-9
  9. M. García Marrero y otros. Topología Alhambra ISBN 84-205-0557-9 (obra completa)
  10. Brown y , 2006, section 2.1.
  11. Brown y , 2006, section 2.2.
  12. Armstrong, 1983, definición 2.1.
  13. Mansfield: Introducción a la topología, ISBN 84-205-0450-5
  14. Kelley: Topología general, Eudeba, Buenos Aires
  15. Los elementos de T satisfacen los axiomas de definición de una topología sobre un conjunto no vacío
  16. Munkres, 1999, «Sec. 20».
  17. Munkres, 1999, «Sec. 40».

Bibliografía

  • Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013). A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces. Springer. 
  • Gauss, Carl Friedrich (1827). General investigations of curved surfaces. 
  • Kuratowski, Kazimierz (1973). Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología. 
  • Munkres, James (28 de diciembre de 1999). Topology (2nd edition edición). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-90839-0. 
  • Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
  • Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
  • Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8.  (3rd edition of differently titled books)
  • Čech, Eduard; Point Sets, Academic Press (1969).
  • Fulton, William, Algebraic Topology, (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (September 5, 1997). ISBN 0-387-94327-7.
  • Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
  • Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
  • Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
  • Schubert, Horst (1968), Topology, Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0 .
  • Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
  • Vaidyanathaswamy, R. (1960). Set Topology. Chelsea Publishing Co. ISBN 0486404560. 
  • Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. 

Enlaces externos

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