Topología finita

Topología finita es un concepto matemático que tiene varios significados distintos.

Espacio topológico finito

Un espacio topológico finito es un espacio topológico cuyo conjunto subyacente es finito.

En anillos y módulos de endomorfismos

Si A y B son grupos abelianos, la topología finita del grupo de homomorfismos Hom( A, B ) se define mediante la siguiente base de entornos abiertos de cero.^{[cita requerida]}

${\displaystyle U_{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}=\{f\in \operatorname {Hom} (A,B)\mid f(x_{i})=0{\mbox{ for }}i=1,2,\ldots ,n\}}$

Este concepto se aplica en concreto en el estudio de anillos de endomorfismos donde se tiene A = B. ^[1]​ Semejantemente, si R es un anillo y M es un módulo R derecho, entonces la topología finita en ${\displaystyle {\text{End}}_{R}(M)}$ se define mediante el siguiente sistema de entornos abiertos de cero^[2]​ :

${\displaystyle U_{X}=\{f\in {\text{End}}_{R}(M)\mid f(X)=0\}}$

En espacios vectoriales

En un espacio vectorial ${\displaystyle V}$, los abiertos finitos ${\displaystyle U\subset V}$ se definen como los conjuntos cuyas intersecciones con cada subespacio de dimensión finita ${\displaystyle F\subset V}$ son abiertas. La topología finita en ${\displaystyle V}$ se define con esos abiertos y se escribe ${\displaystyle \tau _{f}(V)}$ .^[3]​

Cuando V tiene dimensión no numerable, esta topología no es localmente convexa ni le otorga a V la estructura de un espacio vectorial topológico, pero cuando V tiene dimensión numerable, coincide tanto con la topología del espacio vectorial más fina en V como con la topología localmente convexa más fina en V. ^[4]​

En variedades

A veces se dice que una variedad M tiene topología finita, o tipo topológico finito, si es homeomorfa a una superficie compacta de Riemann de la que se ha quitado un número finito de puntos.^[5]​

• Abyazov, A.N.; Maklakov, A.D. (2023), «Finite topologies and their properties in linear algebra», Russian Mathematics 67 (1), doi:10.3103/s1066369x23010012 .
• Hoffman, D.; Karcher, Hermann (1995), Complete embedded minimal surfaces of finite total curvature, doi:10.48550/arXiv.math/9508213 .
• Kakutani, Shizuo; Klee, Victor (December 1963), «The finite topology of a linear space», Archiv der Mathematik 14 (1): 55-58, doi:10.1007/bf01234921 .
• Krylov, P.A.; Mikhalev, A.V.; Tuganbaev, A.A. (2002), «Properties of endomorphism rings of abelian groups I.», J. Math. Sci. (New York) 112 (6): 4598-4735, doi:10.1023/A:1020582507609 .
• Pazzis, C. (2018), On the finite topology of a vector space and the domination problem for a family of norms, doi:10.48550/arXiv.1801.09085 .

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