Teorema de la función abierta

En matemáticas, hay dos teoremas con el nombre "Teorema de la función abierta".

Análisis funcional

En análisis funcional, el teorema de la función abierta, también conocido como el teorema de Banach-Schauder, es un resultado fundamental que establece: si A: X → Y es un operador lineal continuo sobreyectivo entre los espacios de Banach X y Y, entonces A es una función abierta (es decir si U es un conjunto abierto en X, entonces A(U) es abierto en Y).

La prueba utiliza el Teorema de categorías de Baire.

El teorema de la función abierta tiene dos consecuencias importantes:

• Si A: X → Y es un operador lineal continuo biyectivo entre los espacios de Banach X y Y, entonces el operador inverso A^-1: Y → X es continuo también (esto se llama el teorema de la función inversa).

• Si A: X → Y es un operador lineal entre los espacios de Banach X y Y, y si para cada sucesión (x_n) en X con x_n → 0 y Ax_n → y se sigue que y = 0, entonces A es continuo (teorema de la gráfica cerrada).

Análisis complejo

En análisis complejo, el teorema de la función abierta establece que si U es un subconjunto abierto conexo del plano complejo C y f: U → C es una función holomorfa no-constante, entonces f es una función abierta (es decir envía subconjuntos abiertos de U a los subconjuntos abiertos de C).

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