En matemáticas, el teorema de Niven, que lleva el nombre del matemático estadounidense Ivan Morton Niven (1915-1999), establece que:
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\operatorname {sen} 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\operatorname {sen} 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0b553164448ec85aea4f8c80d3ed7e70420863e)
En radianes, se requeriría que 0 ≤ x ≤ π⁄2, que x⁄π sea racional, y que sen x también sea racional. La conclusión es que los únicos valores de este tipo son sen 0 = 0, sen π⁄6 = 1⁄2, y sen π⁄2 = 1.
El teorema aparece como el Corolario 3.12 en el libro de Niven sobre números irracionales.[2]
El teorema también se extiende a las otras funciones trigonométricas.[2] Para valores racionales de θ, los únicos valores racionales del seno o del coseno son 0, ±1⁄2 y ±1; Los únicos valores racionales de la secante o cosecante son ±1 y ±2; y los únicos valores racionales de la tangente o cotangente son 0 y ±1.[3]
Véase también
- Terna pitagórica, que forma triángulos rectángulos donde las funciones trigonométricas siempre tomarán valores racionales, aunque los ángulos agudos no son racionales
- Función trigonométrica
- Número trigonométrico
- Polinomio mínimo de valores trigonométricos especiales
Referencias
- ↑ Schaumberger, Norman (1974). «A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities». Two-Year College Mathematics Journal 5: 73-76. JSTOR 3026991.
- ↑ a b Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. The Carus Mathematical Monographs (11). Mathematical Association of America. p. 41. MR 0080123.
- ↑ Una prueba para el caso del coseno aparece en el Lema 12 en Bennett, Curtis D.; Glass, A. M. W.; Székely, Gábor J. (2004). «Fermat's last theorem for rational exponents». American Mathematical Monthly 111 (4): 322-329. MR 2057186. doi:10.2307/4145241.
Lecturas relacionadas
- Olmsted, J. M. H. (1945). «Rational values of trigonometric functions». Amer. Math. Monthly 52 (9): 507-508. JSTOR 2304540.
- Lehmer, Derik H. (1933). «A note on trigonometric algebraic numbers». Amer. Math. Monthly 40 (3): 165-166. JSTOR 2301023.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Niven's Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. (en inglés)
- Niven's Theorem en ProofWiki (en inglés)
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