Teorema de F. Riesz

El teorema de F. Riesz (llamado así por el matemático húngaro Frigyes Riesz (1880-1956)) es una proposición importante en análisis funcional, que establece que un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff es de dimensión finita si y solo si es localmente compacto. El teorema y sus consecuencias se utilizan de forma ubicua en el análisis funcional, a menudo sin mencionarlo explícitamente.

Enunciado

En primer lugar, debe recordarse que un espacio vectorial topológico (EVT) ${\displaystyle X}$ es de Hausdorff si y solo si el conjunto unitario ${\displaystyle \{0\}}$ que consta exclusivamente del origen es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X}$. Una aplicación entre dos EVT se denomina isomorfismo EVT o isomorfismo en la categoría de EVT si es un homeomorfismo lineal.

Consecuencias

En todo momento, ${\displaystyle F,X,Y}$ son EVTs (no necesariamente de Hausdorff), siendo ${\displaystyle F}$ un espacio vectorial de dimensión finita.

• Cada subespacio vectorial de dimensión finita de un EVT de Hausdorff es un subespacio cerrado.^[1]​
• Todos los EVTs de Hausdorff de dimensión finita son espacios de Banach y todas las normas en dicho espacio son equivalentes.^[1]​
• Cerrado + de dimensión finita está cerrado: Si ${\displaystyle M}$ es un subespacio vectorial cerrado de un EVT ${\displaystyle Y}$ y si ${\displaystyle F}$ es un subespacio vectorial de dimensión finita de ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle Y,M}$, y ${\displaystyle F}$ no son necesariamente de Hausdorff), entonces ${\displaystyle M+F}$ es un subespacio vectorial cerrado de ${\displaystyle Y}$.^[1]​
• Cada isomorfismo del espacio vectorial (es decir, una función biyectiva lineal) entre dos EVTs de Hausdorff de dimensión finita es un isomorfismo entre EVTs.^[1]​
• Singularidad de la topología: Si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial de dimensión finita y si ${\displaystyle \tau _{1}}$ y ${\displaystyle \tau _{2}}$ son dos topologías sobre EVT de Hausdorff en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle \tau _{1}=\tau _{2}}$.^[1]​
• Dominio de dimensión finita: Una aplicación lineal ${\displaystyle L:F\to Y}$ entre EVT de Hausdorff es necesariamente continua.^[1]​
  • En particular, cada funcional lineal de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es continuo.
• Rango de dimensión finita: Cualquier aplicación lineal sobreyectiva ${\displaystyle L:X\to Y}$ continuo con un rango de dimensión finita de Hausdorff es una aplicación abierta^[1]​ y, por lo tanto, un homomorfismo topológico.

En particular, el rango de ${\displaystyle L}$ es EVT-isomorfo a ${\displaystyle X/L^{-1}(0).}$

• Un EVT ${\displaystyle X}$ (no necesariamente de Hausdorff) es localmente compacto si y solo si ${\displaystyle X/{\overline {\{0\}}}}$ es de dimensión finita.
• La envolvente convexa de un espacio compacto de un EVT de Hausdorff de dimensión finita es compacta.^[1]​
  • Esto implica, en particular, que el recubrimiento convexo de un conjunto compacto es igual al recubrimiento convexo cerrado de ese conjunto.
• Un EVT de Hausdorff localmente acotado con la propiedad de Heine-Borel es necesariamente de dimensión finita.^[2]​

Véase también

• Lema de Riesz

Referencias

Bibliografía

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. 

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