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Función biyectiva

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que  | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} .
Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que .

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, para todo de se cumple que existe un único de , tal que la función evaluada en es igual a .

Dados dos conjuntos finitos e , entonces existirá una biyección entre ambos si y solo si e tienen el mismo número de elementos.

Proposición

Si es una función real biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva.

Ejemplo

La función:

con y

es biyectiva.

Luego, su inversa:

también lo es.

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver que la función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva:

Función Inyectiva No inyectiva
Sobreyectiva
Correspon 1602.svg
Correspon 1502.svg
No sobreyectiva
Correspon 1402.svg
Correspon 1302.svg

Ejemplos

Asientos y alumnos en una sala de clase

En una clase hay un determinado número de asientos. Un grupo de estudiantes ingresa a la clase y el profesor les pide a todos que se sienten. Después de hacer una rápida observación de la sala de clase, el profesor declara con seguridad que hay una biyectividad entre el grupo de estudiantes y la cantidad de asientos, donde cada estudiante esta emparejado con el asiento que le corresponde. Lo que el profesor tuvo que observar para poder hacer esta declaración es:

  1. Todos los estudiantes estaban sentados (nadie estaba de pie),
  2. Ningún estudiante estaba sentado en más de un asiento,
  3. Cada asiento estaba ocupado (no había asientos vacíos), y
  4. Ningún asiento estaba ocupado por más de un estudiante.

El profesor, gracias a esa observación, pudo concluir que había igual cantidad de asientos como de estudiantes, sin tener que contar la cantidad de asientos.

Cardinalidad y biyectividad

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función biyectiva tienen cardinales que cumplen:

Homeomorfismo

Se define un homeomorfismo (no confundir con homomorfismo ) como una aplicación entre dos espacios topológicos verificando ser una transformación biyectiva y bicontinua. [1]

Véase también

Referencias

  1. Ayala y otros. "Elementos de topología general". ISBN 84-7829-006-0

Enlaces externos

Esta página se editó por última vez el 17 mar 2021 a las 12:43.
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