Teorema de Arzelá-Ascoli

El teorema de Arzelà-Ascoli es una de las herramientas más poderosas que hay para verificar si una familia de funciones de un espacio topólogico en otro es compacta. Lo que dice el teorema es lo siguiente:^[1]​

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio topológico compacto, ${\displaystyle Y}$ un espacio métrico completo. Un conjunto ${\displaystyle H\subset C(X,Y)}$ (el espacio de las funciones continuas de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$) será relativamente compacto en la topología de la métrica del infinito si y solamente si:

1. ${\displaystyle H}$ es equicontinuo
2. Para todo ${\displaystyle x\in X}$, el conjunto ${\displaystyle H_{x}=\{f(x):f\in H\}}$ es relativamente compacto en ${\displaystyle Y}$.

Debe tenerse en cuenta que si ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$, la condición 2 es equivalente a pedir que para cada ${\displaystyle x\in X}$, el conjunto ${\displaystyle H_{x}}$ sea acotado. En este mismo caso, se cumple que si además ${\displaystyle X}$ es un espacio topólogico conexo, basta verificar que existe un ${\displaystyle x}$ tal que la condición 2 se cumple, y automáticamente se tendrá para todos.

Referencias

Esta página se editó por última vez el 14 oct 2023 a las 19:34.