Número altamente abundante

En matemáticas, un número altamente abundante es un número natural con la propiedad de que la suma de sus divisores (incluido él mismo) es mayor que la suma de los divisores de cualquier número natural menor.

Los números muy abundantes y varias clases similares de números fueron introducidos por primera vez por Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1943), y Leonidas Alaoglu y Paul Erdős (1944) realizó los primeros trabajos sobre el tema. Alaoglu y Erdős tabularon todos los números altamente abundantes hasta 10⁴ y demostraron que la cantidad de números altamente abundantes menores que cualquier N es al menos proporcional a log² N.

Definición formal y ejemplos

Formalmente, un número natural n se denomina altamente abundante si y solo si para todos los números naturales m < n,

${\displaystyle \sigma (n)>\sigma (m)}$

donde σ denota la función suma de divisores. Los primeros números muy abundantes son

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... (sucesión A002093 en OEIS).

Por ejemplo, 5 no es altamente abundante porque σ(5)= 5+1= 6 es menor que σ(4)= 4 + 2 + 1= 7, mientras que 8 es altamente abundante porque σ(8)= 8 + 4 + 2 + 1= 15 es mayor que todos los valores anteriores de σ.

Los únicos números impares altamente abundantes son el 1 y el 3.^[1]​

Relaciones con otros conjuntos de números

Aunque los primeros ocho factoriales son altamente abundantes, no todos los factoriales son altamente abundantes. Por ejemplo,

σ(9!)= σ(362880)= 1481040,

pero hay un número más pequeño con mayor suma de divisores,

σ(360360)= 1572480,

y por lo tanto, 9! no es altamente abundante.

Alaoglu y Erdős señalaron que todos los números superabundantes son altamente abundantes y preguntaron si hay un número infinito de números altamente abundantes que no son sobreabundantes. Esta pregunta fue respondida afirmativamente por Jean-Louis Nicolas (1969).

A pesar de la terminología, no todos los números altamente abundantes son números abundantes. En particular, ninguno de los primeros siete números altamente abundantes (1, 2, 3, 4, 6, 8 y 10) son abundantes. Junto con el 16, el noveno número altamente abundante, estos son los únicos números altamente abundantes que no son abundantes.

7200 es el número poderoso más grande que también es altamente abundante: todos los números más grandes y altamente abundantes tienen un factor primo que los divide solo una vez. Por lo tanto, 7200 es también el mayor número altamente abundante con una suma impar de divisores.^[2]​

Referencias

Bibliografía

• Alaoglu, L.; Erdős, P. (1944). «On highly composite and similar numbers». Transactions of the American Mathematical Society 56 (3): 448-469. JSTOR 1990319. MR 0011087. doi:10.2307/1990319. 
• Nicolas, Jean-Louis (1969). «Ordre maximal d'un élément du groupe S_n des permutations et "highly composite numbers"». Bull. Soc. Math. France 97: 129-191. MR 0254130. 
• Pillai, S. S. (1943). «Highly abundant numbers». Bull. Calcutta Math. Soc. 35: 141-156. MR 0010560. 

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