Medida de Mahler

En matemáticas, la medida de Mahler ${\displaystyle M(p)}$ de un polinomio p es

${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}||p||_{\tau }=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).}$

Aquí se presupone que p toma valores complejos y

${\displaystyle ||p||_{\tau }=\left({{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta }\right)^{1/\tau }\,}$

es la norma L_τ de p (aunque ésta no es una auténtica norma para τ < 1).

Se puede mostrar que si

${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})}$

entonces

${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|.}$

La medida de Mahler de un número algebraico α se define como la medida de Mahler del polinomio mínimo de α sobre Q.

La medida se llama así en honor a Kurt Mahler.

Propiedades

• La medida de Mahler es multiplicativa, es decir, M(pq) = M(p)M(q).

Referencias

• Peter Borwein (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. pp. 3, 15. ISBN 0-387-95444-9. 
• J.L. Jensen (1899). «Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions». Acta Mathematica 22: 359-364. doi:10.1007/BF02417878. 
• M.J. Mossinghoff (1998). «Polynomials with Small Mahler Measure». Mathematics of Computation 67: 1697-1705 and S11-S14. doi:10.1090/S0025-5718-98-01006-0. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Mahler Measure». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 27 de mayo de 2010. 
• Weisstein, Eric W. «Jensen's Formula». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 27 de mayo de 2010. 

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