Identidad de Lagrange

En matemática, la identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:

Para cualesquiera números $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}$ se cumple:

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}$

La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.

Si $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ y $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ son números (reales o complejos) entonces

$\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$

YouTube Encyclopedic

1/5
Views:
2 874
514
12 682
9 787
211 631

Transcription

En anillos conmutativos

La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no solo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo.

Prueba mediante desarrollo algebraico
Primero hacemos uso de la fórmula para desarrollar una suma elevada al cuadrado: $\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}2x_{i}x_{j}$ sustituyendo $x_{k}$ por $a_{k}b_{k}$ : $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}$ Por otro lado, del binomio al cuadrado $(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}$ podemos despejar $2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$ y sustituyendo en la suma previa resulta en $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$ Pero $\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})$ es la suma de todos los términos de la forma $a^{2}b^{2}$ para cualquier par de subíndices y por tanto se puede factorizar como $\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{k}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)$ Haciendo la sustitución arroja finalmente $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$ equivalente a la identidad que queremos demostrar.

Interpretación vectorial

Si consideramos los números $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ y $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ como componentes de vectores en $\mathbb {R} ^{n}$ :

$\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ ,

entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto escalar, pues

$\Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right),\qquad \Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$

de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:

Si $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ son dos vectores de $\mathbb {R} ^{n}$ , entonces

$\Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$

Sin embargo, cuando $n=3$ , la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto vectorial de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:

Si $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})$ son dos vectores de $\mathbb {R} ^{3}$ , entonces

$\Vert \mathbf {a} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {b} \Vert ^{2}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}+|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}$

Bibliografía

Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003). Mathematical miniatures. Anneli Lax New Mathematical Library (en inglés) 43. The Mathematical Association of America. ISBN 088385645X.
Weisstein, Eric W. «Lagrange's Identity». Mathworld (en inglés). Consultado el 8 de mayo de 2012.

Datos: Q1206853

Esta página se editó por última vez el 26 nov 2023 a las 01:29.

De Wikipedia, la enciclopedia libre

YouTube Encyclopedic

Transcription

En anillos conmutativos

Interpretación vectorial

Bibliografía