Función aditiva

Tradicionalmente en matemática, una función aditiva es una función que preserva la operación suma:

f(x + y) = f(x) + f(y)

para cualquiera de dos elementos x e y en el dominio. Así por ejemplo, cualquier transformación lineal es aditiva. Cuando el dominio son los números reales, esta función corresponde a la ecuación funcional de Cauchy.

En teoría de números, una función aditiva es una función aritmética f(n) que va desde los enteros positivos n tales que cada vez que a y b son coprimos, la función del producto es la suma de las funciones.

f(a,b) = f(a) + f(b).

Note que cualquier homomorfismo f entre grupos abelianos es "aditivo" según la primera definición. El resto de este artículo se refiere a las funciones aditivas usando esta segunda definición de la teoría de números.

ejemplo

La función Ω asocia con un entero natural distinto de cero n, el número con repetición (es decir, contando varias veces los factores múltiples) de los factores primos de n:

Ω(4) = 2 ;

Ω(24) = Ω(2³ ⋅ 3¹) = 3 + 1 = 4 ;

Ω(27) = 3 ;

Ω(144) = Ω(2⁴ ⋅ 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6 ;

Ω(2 000) = Ω(2⁴ ⋅ 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7 ;

Ω(2 001) = 3 ;

Ω(2 002) = 4 ;

Ω(2 003) = 1 ;

Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 4  ;

Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 7² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;

Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11² ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 7.

Función completamente aditiva

Una función aditiva f(n) es completamente aditiva o totalmente aditiva si f(ab) = f(a) + f(b) se cumple para todos los enteros positivos a y b, inclusive aquellos que no son coprimos.

Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no viceversa.

Funciones multiplicativas

A partir de cualquier función aditiva f(n) es fácil crear una función multiplicativa relacionada g(n), utilizando la propiedad de que cuando a y b son coprimos se cumple lo siguiente:

g(ab) = g(a) × g(b).

Un ejemplo es la función g(n) = 2^{f(n) − f(1)}.

Bibliografía

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)

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