Espacio T₁

En topología un espacio T₁ o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

Definición

Un espacio topológico ${\displaystyle E}$ es ${\displaystyle T_{1}}$ si para cada pareja de elementos distintos ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle E}$ existe un abierto que contiene a ${\displaystyle x}$ y no a ${\displaystyle y}$. Esto claramente implica que también existe un abierto que contiene a ${\displaystyle y}$ y no a ${\displaystyle x}$, ya que también se cumple para la pareja ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x}$. Por tanto, también se suele definir como un espacio topológico tal que para cada pareja de elementos distintos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle E}$ existe un abierto que contiene a ${\displaystyle x}$ y no a ${\displaystyle y}$ y también existe un abierto que contiene a ${\displaystyle y}$ y no a ${\displaystyle x}$

Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, sería un espacio de Hausdorff o ${\displaystyle T_{2}}$).

Propiedades

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio topológico. Son equivalentes:

• ${\displaystyle X}$ es un espacio ${\displaystyle T_{1}}$.
• ${\displaystyle X}$ es un espacio ${\displaystyle T_{0}}$ y un espacio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math alttext="{\displaystyle R_{0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle R_{0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8916196f182fcbaaca54f931176a4a4f5769cc" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.818ex; height:2.509ex;"/></span>.
• Para cada ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \{x\}}$ es cerrado.
• Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos.
• Todo subconjunto de ${\displaystyle X}$ es la intersección de sus entornos.
• Todo suconjunto finito de ${\displaystyle X}$ es cerrado.
• Todo subconjunto cofinito de ${\displaystyle X}$ es abierto.
• El ultrafiltro principal de ${\displaystyle x}$ converge solamente a ${\displaystyle x}$.
• Para cada punto ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ y todo subcojunto ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle x}$ es un punto límite de ${\displaystyle S}$ si y solo sí es un punto de acumulación de ${\displaystyle S}$.

La propiedad de ser T₁ es hereditaria, es decir, los subespacios de un T₁ es también T₁.^[1]​

Nota y casos

• Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ, llamada estructura topológica cofinita que es T1 pero no T2.^[2]​

• Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.^[3]​

• Sea ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$ con la topología formada por los subconjuntos de ${\displaystyle X}$ siguientes: ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle \{b\}}$, ${\displaystyle \{a,b\}}$, ${\displaystyle \{b,c\}}$, ${\displaystyle X}$. No es T₁ ya que ${\displaystyle \{b\}}$ no es cerrado.^[4]​

Teorema

Un espacio topológico es T₁ si y solo si cada punto es un conjunto cerrado.^[3]​^[5]​

Ejemplos

• La topología cofinita sobre un conjunto infinito es T₁ pero no T₂.^[6]​
• El espacio topológico de Sierpinski es T₀ pero no es T₁.^[7]​

Referencias

Véase también

• Axiomas de separación
• Espacio de Kolmogórov (T₀)
• Espacio de Hausdorff (T₂)
• Espacio completamente de Hausdorff
• Espacio regular (T₃)
• Espacio de Tíjonov (T_3½)
• Espacio normal

Bibliografía

• Willard, Stephen (1998). General Topology. New York: Dover. pp. 86-90. ISBN 0-486-43479-6. 
• Folland, Gerald (1999). Real analysis: modern techniques and their applications (2nd edición). John Wiley & Sons, Inc. p. 116. ISBN 0-471-31716-0. 
• Llopis, José L. (2017). «Espacios de Fréchet». Matesfacil. ISSN 2659-8442. 

Enlaces externos

• Propiedades de los espacios de Fréchet

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