Curva de Viviani

La curva de Viviani o ventana de Viviani es la curva algebraica cerrada (definida en el espacio tridimensional) generada a partir de la intersección entre la esfera centrada en el origen y de radio R y el cilindro de eje ${\displaystyle x=R,y=0}$ y de radio ${\displaystyle R/2}$. Es un caso particular de curva clelia.

Origen histórico

Vincenzo Viviani propuso en 1692 el problema de arquitectura siguiente:^[1]​

Se trata de perforar una cúpula hemisférica por cuatro ventanas, de tal manera que la superficie restante de la cúpula sea cuadrable.

John Wallis, Gottfried Leibniz y Johann Bernoulli estudiaron de forma natural el caso simple de ventanas circulares, y tuvieron que estudiar la curva intersección del cilindro y del hemisferio, dando a esta curva el nombre de «ventana de Viviani».^[2]​

Ecuaciones de la curva de Viviani

Se tienen las representaciones siguientes (para una esfera de radio R):^[3]​

Sistema de coordenadas cartesianas:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle (x-R/2)^{2}+y^{2}=(R/2)^{2}}$

Parametrización cartesiana:

${\displaystyle x=R\cos ^{2}u}$

${\displaystyle y=R\cos u\sin u}$

${\displaystyle z=R\sin u}$

también equivalente a: (con ${\displaystyle u=t/2}$)

${\displaystyle x=(R/2)(1+\cos t)}$

${\displaystyle y=(R/2)\sin t}$

${\displaystyle z=R\sin(t/2)}$

Su longitud coincide con la de una elipse de semiejes ${\displaystyle (R)}$ y ${\displaystyle (R{\sqrt {2}})}$ ; calculable mediante una integral elíptica.

El valor aproximado es de ${\displaystyle L\approx 7,64R}$

Aplicaciones

El arquitecto Paul Andreu diseñó la cúpula del Museo marítimo de Osaka, disponiendo las nervaduras según una red de curvas de Viviani paralelas.

Véase también

• Clelia

Notas

Referencias

• Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le dévéloppement des méthodes en géométrie (1837), impr. Hayez, Bruselas
• Michel Sierres, Le système de Leibnitz te ses modèles mathématiques (1968, reed. 2007) edición. PUF, cuello. Épiméthée (ISBN 2130433898  )
• (francés) Denis Lanier. «Leibniz, la nouvelle analyse te la géométrie huevo enquête sur la fenêtre de Viviani» p. 203-227. NUMDAM: Cahiers lleva séminaire de histoire des mathématiques, vol. 8, 1987. [Consulta: 28 oct. 2007].

Enlaces externos

La curva de Viviani en Mathcurve

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