В теории узлов обратимый узел — это узел, который может быть непрерывной деформацией переведён в себя, но с обратной ориентацией. Необратимый узел — это любой узел, который не имеет такого свойства. Обратимость узла является инвариантом узла. Обратимое зацепление — это зацепление с таким же свойством.
Существует только пять типов симметрии узлов, определяемые хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, двухсторонний, положительно ахиральный необратимый, отрицательно ахиральный необратимый и полностью ахиральный обратимый[1].
История вопроса
| Число пересечений | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | OEIS последовательность |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Необратимые узлы | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 33 | 187 | 1144 | 6919 | 38118 | 226581 | 1309875 | последовательность A052402 в OEIS |
| Обратимые узлы | 1 | 1 | 2 | 3 | 7 | 20 | 47 | 132 | 365 | 1032 | 3069 | 8854 | 26712 | 78830 | последовательность A052403 в OEIS |
Давно известно, что большинство простых узлов, таких как трилистник и восьмёрка, обратимы. В 1962 году Ральф Фокс (англ. Ralph Fox) высказал предположение, что некоторые узлы необратимы, но не было доказано их существование, пока в 1963 году Хейл Троттер не обнаружил бесконечное семейство необратимых кружевных зацеплений[2]. Теперь известно, что почти все узлы необратимы[3].
Обратимые узлы
Все узлы с числом пересечений 7 и менее обратимы. Не известно общего метода, который дал бы ответ обратим узел или нет[4]. Проблему можно перевести в алгебраическую терминологию [5], но, к сожалению, не известно алгоритма решения этой алгебраической задачи.
Если узел обратим и ахирален, он полностью ахирален. Простейший узел с этим свойством — это восьмёрка. Хиральные обратимые узлы классифицируются как двухсторонние[6].
Строго обратимые узлы
Более абстрактный способ определения обратимого узла — сказать, что существует гомеоморфизм 3-сферы, переводящий узел в себя, но меняющий ориентацию узла на противоположную. Если использовать вместо гомеоморфизма более строгое условие — инволюцию — получим определение строго обратимого узла. Все узлы с туннельным числом единица, такие как трилистник и восьмёрка, строго обратимы[7].
Необратимые узлы
Простейшим примером необратимого узла служит 817 (в обозначениях Александера — Бриггса) или .2.2 (в обозначениях Конвея). Кружевной узел 7, 5, 3 необратим, как и все кружевные узлы вида (2p + 1), (2q + 1), (2r + 1), где p, q и r — различные целые, что даёт бесконечное семейство узлов, необратимость которых доказана Троттером[8].
См. также
Примечания
- ↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33–48.
- ↑ Trotter, 1963, с. 275–280.
- ↑ Murasugi, 2007, с. 45.
- ↑ Weisstein, Eric W. Invertible Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
- ↑ Kuperberg, 1996, с. 173–181.
- ↑ Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman, 2013.
- ↑ Morimoto, 1995, с. 3527—3532 Лемма 5.
- ↑ Trotter, 1963, с. 275—280.
Литература
- Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — doi:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.
- H.F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — doi:10.1016/0040-9383(63)90011-9.
- Kunio Murasugi. Knot Theory and Its Applications. — Springer, 2007. — ISBN 9780817647186.
- Greg Kuperberg. Detecting knot invertibility // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1996. — Т. 5, вып. 2. — doi:10.1142/S021821659600014X. — arXiv:q-alg/9712048.
- W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman. Quandle colorings of knots and applications. — 2013. — arXiv:1312.3307.
- Kanji Morimoto. There are knots whose tunnel numbers go down under connected sum // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1995. — Т. 123, вып. 11. — doi:10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4. — .
Внешние ссылки
- Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. Basic graph theory: Non-invertible knot and links, LinKnot.
- Explanation with a video, Nrich.Maths.org.
Эта страница в последний раз была отредактирована 30 января 2023 в 13:31.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.