Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

  • «Существуют две формы: ноль и нуль. В терминологическом значении (особенно в косвенных падежах) обычно используется вторая, например: равняется нулю, температура держится на нуле»[1].
  • «…производное прилагательное обычно образуется от формы нуль, например: нулевой меридиан, нулевая отметка»[1].

Ноль (0, нуль от лат. nullus — никакой[2]) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее[3], то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль[4].

Большой толковый словарь Кузнецова (2009)[5] приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике[6].

Ноль в математике

Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0». Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 410 и 4010; 416 и 4016 (нижний индекс означает основание системы счисления). Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи

С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

  • Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
  • Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

  • Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
  • Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием k, число делится на kn, если оно оканчивается на n нулей.

Число «ноль» в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам[7], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль[8].

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения[9]:

  •  — натуральные числа, включая ноль: .
  •  — натуральные числа без нуля: .

Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1[10]. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, и т. д.[8]

Основные свойства нуля

  • При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:
при

Деление на ноль

В самом деле, если обозначить , то по определению деления формально должно быть , в то время как выражение , при любом , равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

Значения отдельных функций

  • Факториал нуля по соглашению[12] принят равным единице: . При таком соглашении тождество будет верно и при
  • Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: .
Связано это с тем, что функция двух переменных в точке имеет неустранимый разрыв.
В самом деле, вдоль положительного направления оси где она равна единице, а вдоль положительного направления оси где она равна нулю. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.

Ноль в геометрии

  • Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
  • Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
  • Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
  • Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
  • На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

  • При вычислении предела отношения , где и , возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение , значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: , , , .
  • Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:
  • Правый предел: _ или _ .
  • Левый предел: _ или _ .

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера является нулевым элементом кольца квадратных матриц . Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, .

Ноль в информатике и вычислительной технике

Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.

Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О
Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О

При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру 0 с латинской или русской буквой О, что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация[16] нуль перечёркивать[en]: . Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву О, а не нуль[17]. Знакогенераторы многих текстовых терминалов, видеоадаптеров и матричных принтеров при работе в текстовом режиме также выводят нуль в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля)[18][19]. На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в ​​центре. Визуальное различие цифры 0 от буквы О остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам. В пропорциональных шрифтах буква О заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀). Некоторые шрифты OpenType включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS имеется специальная опция font-feature-settings: zero.

Число «ноль» в информатике и вычислительной технике

В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает .массив Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике ; то есть представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

Десятичное
представление
Двоичное представление (8 бит)
прямой обратный дополнительный
+0        0000 0000        0000 0000        0000 0000       
-0        1000 0000        1111 1111       

История использования нуля

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток

Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту[20][21].

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки

Пустая раковина — один из знаков нуля в системе счисления майя
Пустая раковина — один из знаков нуля в системе счисления майя

Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года до н. э. по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему)[22]. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль, то есть 8 декабря 36 года до н. э.

Любопытно, что тем же знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как он означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину»[23]. Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия

В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом śūnyaḥ («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ для нуля обнаружен в индийском «манускрипте Бакхшали» от 876 г. н. э., он имеет вид жирной точки или закрашенного кружка, названного впоследствии śūnya-binduḥ «точка пустоты»[24][25].

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 ṣifr (отсюда слова цифра, шифр, и итал. zero, ноль), она попала в Западную Европу[26].

Европа

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой[27]. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля (0) называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско, написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов c XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478)[28].

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о[29].

История числа «ноль»

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали вместо неё иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц[30].

В китайских записях чисел цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «иероглифов императрицы У Цзэтянь».

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также

Примечания

  1. 1 2 Д. Э. Розенталь. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных. Архивная копия от 12 января 2015 на Wayback Machine М.: ЧеРо, 1999.
  2. Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
  3. Нуль // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1082.
  4. Нуль // Большой Энциклопедический словарь. — 2000.
  5. Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
  6. Самая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.

    Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.
  7. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. The historical roots of elementary mathematics (англ.). — Courier Dover Publications, 1976. — P. 254—255. — ISBN 0-486-13968-9., Extract of pages 254—255 Архивная копия от 10 мая 2016 на Wayback Machine
  8. 1 2 Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — С. 9. — 560 с.
  9. International standard 80000-2:2009. Part 2. NCSU COE People. Дата обращения: 12 августа 2019. Архивировано 28 февраля 2019 года.
  10. ГОСТ Р 54521-2011 Статистические методы. Математические символы и знаки для применения в стандартах (Переиздание) от 24 ноября 2011 - docs.cntd.ru. docs.cntd.ru. Дата обращения: 14 января 2022. Архивировано 9 июля 2021 года.
  11. 1 2 Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: «Педагогика», 1989. — С. 219.
  12. Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений / Под ред. С. А. Степанова. — 3-е изд. — М.: Наука, 1983. — С. 415. — 480 с.
  13. Что такое степень числа Архивная копия от 28 июля 2021 на Wayback Machine // Школьная математика, интернет-ресурс.
  14. Почему число в степени 0 равно 1? Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine // Науколандия, интернет-ресурс.
  15. Степенная функция Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
  16. Брич З. С., Воюш В. И., Дегтярёва Г. С., Ковалевич Э. В. Программирование на языке Ассемблера ЕС ЭВМ. — М.: Статистика, 1976. — 296 с. — С. 13—14, 19.
  17. Кулаковская В. П., Романовская Л. М., Савченко Т. А., Фельдман Л. С. Кобол ЭВМ Минск-32. Пособие для работников вычислительных центров. — М.: Статистика, 1973. — 284 с.
  18. Брябрин В. М. Программное обеспечение персональных ЭВМ. 3-е изд. — М.: Наука, 1990. — 272 с. — ISBN 5-02-014824-5. — С. 17, 113—114.
  19. Смирнов Н. Н. Программные средства персональных ЭВМ. — Л.: Машиностроение, 1990. — 272 с. — ISBN 5-217-00029-5. — С. 13, 80—81.
  20. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 116. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
  21. Lamb, Evelyn (August 31, 2014), Look, Ma, No Zero!, Scientific American, Roots of Unity, <http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/>  Архивная копия от 17 октября 2014 на Wayback Machine
  22. Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — С. 469—470. — 543 с. — ISBN 9785952449787.
  23. Лаура Лауренсич-Минелли. Любопытное понятие мезоамериканского и андского «нуля предметного» и логика инкских богов-чисел. Архивировано 23 июля 2012 года.
  24. Суета вокруг нуля. Дата обращения: 19 сентября 2017. Архивировано 20 сентября 2017 года.
  25. Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol (англ.). The Guardian (14 сентября 2017). Дата обращения: 19 сентября 2017. Архивировано 20 ноября 2017 года.
  26. Ламберто Гарсия дель Сид. Особые числа других культур → 116 // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 115. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
  27. «Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.
  28. Депман, 1965, с. 89.
  29. Депман, 1965, с. 90.
  30. Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third Edition) (англ.). — Princeton University Press, 2011. — P. 86. — ISBN 978-0-691-13526-7.

Литература

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 2 октября 2022 в 15:35.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).