Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения в точке обычно обозначается , иногда также следующим образом:

,или

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.[источник не указан 4427 дней] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю[1].

Введён Якоби (1833, 1841).

Определение

Якобиан векторной функции , имеющей в некоторой точке все частные производные первого порядка, определяется как

Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций .

Геометрическая интерпретация

Если функции определяют преобразование координат , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[2] параллелепипедов, «натянутых» на и на при равенстве произведений .

Применение

  • Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
  • Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
  • Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат преобразуется как
    (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примеры

Пример 1. Переход элементарной площади от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

Матрица Якоби имеет следующий вид

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

Пример 2. Переход элементарного объёма от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

Матрица Якоби имеет следующий вид

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

Свойства

  • Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
  • Якобиан в точке положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
  • Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области , то отображение является локальным диффеоморфизмом.

Примечания

  1. wolfram.com Jacobian
  2. Здесь имеется в виду ориентированный объём. Отношение простых объёмов есть модуль определителя Якоби.

См. также

Применение в физике
Эта страница в последний раз была отредактирована 22 ноября 2021 в 09:04.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).