Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Экзотическая сферагладкое многообразие М, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно стандартной n-сферe

История

Первые примеры экзотических сфер были построены Джоном Милнором в размерности 7; он доказал, что на существует как минимум 7 различных гладких структур. Теперь известно, что на ориентированной существует 28 различных гладких структур (15 без учёта ориентации).

Эти примеры, так называемые сферы Милнора, были найдены среди пространств -расслоений над . Такие расслоения классифицируются двумя целыми числами и — элементом . Некоторые из этих расслоений гомеоморфны стандартной сфере, и при этом не диффеоморфны ей.

Поскольку односвязны, согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, проверка гомеоморфности и сводится к подсчёту гомологий ; это условие накладывает определённые условия на и .

В доказательстве не диффеоморфности Милнор рассуждает от противного. Он замечает, что многообразие представляют из себя границу 8-мерного многообразия — пространства расслоения диска над . Далее, если диффеоморфно стандартной сфере, то можно заклеить шаром, получив замкнутое гладкое 8-мерное многообразие. Подсчёт сигнатуры полученного многообразия через его числа Понтрягина приводит к противоречию.

Классификация

Связная сумма двух экзотических n-мерных сфер — также экзотическая сфера. Операция связной суммы превращает различные гладкие структуры на ориентированной n-мерной сфере в моноид, называемый моноидом экзотических сфер.

n ≠ 4

Для известно, что моноид экзотических сфер является абелевой группой, называемой группой экзотических сфер.

Эта группа тривиальна для . То есть в этих размерностях существование гомеоморфизма на стандартную сферу влечёт существование диффеоморфизма на . При она изоморфна циклической группе порядка 28. То есть существует семимерная экзотическая сфера , такая, что любая 7-мерная экзотическая сфера диффеоморфна связной сумме нескольких копий ; при этом связная сумма 28 копий диффеоморфна стандартной сфере .

Группа экзотических сфер изоморфна группе Θn классов ориентированных h-кобордизмов гомотопической n-сферы. Эта группа конечна и абелева.

Группа имеет циклическую подгруппу

,

соответствующую -сферам, которые ограничивают параллелизуемые многообразия.

  • Если n чётное, то группа тривиальна,
  • Если , то группа имеет порядок 1 или 2
    • Она имеет порядок 1 при n = 1, 5, 13, 29 или 61.
    • Она имеет порядок 2 при , если при этом
  • Если , то есть , то при порядок равен
    • ,
где — это числитель дроби , числа Бернулли. (Иногда формула несколько отличается из-за разных определений чисел Бернулли.)

Факторгруппы описываются через стабильные гомотопические группы сфер по модулю образа J-гомоморфизма). Точнее, существует инъективный гомоморфизм

,

где  — n-я стабильная гомотопическая группа сфер, и — образ J-гомоморфизма. Этот гомоморфизм либо является изоморфизмом, либо имеет образ индекса 2. Последнее случается тогда и только тогда, когда существует n-мерное параллелизуемое многообразие с инвариантом Кервера (англ.) 1.

Вопрос о существовании такого многообразия называется задачей Кервера. По состоянию на 2012 год она не решена только для случая . Многообразия с инвариантом Кервера 1 были построены в размерностях 2, 6, 14, 30 и 62.

Размерность n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Порядок Θn 1 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16 523264 24
Порядок bPn+1 1 1 1 1 1 1 28 1 2 1 992 1 1 1 8128 1 2 1 261632 1
Порядок Θn/bPn+1 1 1 1 1 1 1 1 2 2×2 6 1 1 3 2 2 2 2×2×2 8×2 2 24
Порядок πnS/J 1 2 1 1 1 2 1 2 2×2 6 1 1 3 2×2 2 2 2×2×2 8×2 2 24
Индекс - 2 - - - 2 - - - - - - - 2 - - - - - -

Дальнейшие значения в этой таблице могут быть вычислены из информации выше вместе с таблицей стабильных гомотопических группы сфер.

В нечётных размерностях, сферы и только они имеют единственную гладкую структуру.Wang & Xu (2017)

n = 4

В размерности практически ничего не известно о моноиде гладких сфер, кроме того, что он является конечным или счётно-бесконечным и абелевым. Неизвестно, существуют ли экзотические гладкие структуры на 4-мерной сфере. Утверждение, что их нет, известно как «гладкая гипотеза Пуанкаре».

Так называемое скручивание Глака состоит в вырезании трубчатой окрестности 2-сферы S2 в S4 и вклеивании его обратно с помощью диффеоморфизма его границы . Результат всегда гомеоморфен S4, но в большинстве случаев неизвестно, диффеоморфен ли он S4.

Скрученные сферы

Пусть дан диффеоморфизм , сохраняющий ориентацию. Склеив две копии шара по отображению между границами, получим так называемую сферу, скученную диффеоморфизмом . Скрученная сфера гомеоморфна стандартной, но, вообще говоря, не диффеоморфна ей.

Иначе говоря, многообразие называется скученной сферой, если оно допускает функцию Морса ровно с двумя критическими точками.

  • При n ≠ 4 любая экзотическая сфера диффеоморфна некоторой скрученной сфере.
  • При n = 4 любая скрученная сфера диффеоморфна стандартной.

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 17 декабря 2021 в 16:03.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).