Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
В комбинаторикечислом Эйлера I рода из n по k, обозначаемым или , называется количество перестановок порядка n с kподъёмами, то есть таких перестановок , что существует ровно k индексов j, для которых .
Для заданного натурального числа существует единственная перестановка без подъёмов, то есть . Также существует единственная перестановка, которая имеет n-1 подъёмов, то есть . Таким образом,
для всех натуральных .
Зеркальным отражением перестановки с m подъёмами является перестановка с n-m-1 подъёмами. Таким образом,
Треугольник чисел Эйлера первого рода
Значение чисел Эйлера для малых значений n и k приведены в следующей таблице (последовательность A008292 в OEIS):
n\k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
0
2
1
1
0
3
1
4
1
0
4
1
11
11
1
0
5
1
26
66
26
1
0
6
1
57
302
302
57
1
0
7
1
120
1191
2416
1191
120
1
0
8
1
247
4293
15619
15619
4293
247
1
0
9
1
502
14608
88234
156190
88234
14608
502
1
0
Легко понять, что значения на главной диагонали матрицы задаются формулой:
Треугольник Эйлера, как и треугольник Паскаля, симметричен слева и справа. Но в этом случае закон симметрии несколько отличен:
при n > 0.
То есть перестановка имеет n-1-k подъёмов тогда и только тогда, когда её «отражение» имеет k подъёмов.
Рекуррентная формула
Каждая перестановка из набора приводит к перестановкам из , если мы вставляем новый элемент n всеми возможными способами. Вставляя в -ю позицию, получаем перестановку . Количество подъёмов в равняется количеству подъёмов в , если или если ; и оно больше количества подъёмов в , если или если . Следовательно, в сумме имеет
способов построения перестановок из , которые имеют подъёмов, плюс
способов построения перестановок из , которые имеют подъёмов. Тогда искомая рекуррентная формула для целых имеет вид:
Положим также, что
(для целых ),
и при :
Явные формулы
Явная формула для чисел Эйлера I рода:
позволяет получить относительно простые выражения при малых значениях m:
Формулы суммирования
Из комбинаторного определения очевидно, что сумма чисел Эйлера I рода, расположенных в n-й строке, равна , так как она равна количеству всех перестановок порядка :
Знакопеременные суммы чисел Эйлера I рода при фиксированном значении n связаны с числами Бернулли: